x(x^2-3x+3)=3y

ale.b · Messaggio da **ale.b** » 28 feb 2010, 14:03

per quali valori di $ x $ il polinomio $ x(x^2-3x+3) $ è divisibile per 3?

Haile · Messaggio da **Haile** » 28 feb 2010, 15:54

Sicuro che il testo sia giusto? Sembra troppo facile...

ale.b · Messaggio da **ale.b** » 28 feb 2010, 16:05

si si, è giusto... stavo facendo un vecchio cesenatico e mi serve un modo per venire a capo di questa cosa nella soluzione del problema.
io ho risolto in modo secondo me poco ortodosso, quindi vorrei vedere le idee di gente più esperta, dato che sono alle prime armi

Rosinaldo · Messaggio da **Rosinaldo** » 28 feb 2010, 16:08

Scusate ma non è semplicemente $ x $ multiplo di 3?tra l'altro se è divisibile per 3 è sicuramente divisibile per 9....

Haile · Messaggio da **Haile** » 28 feb 2010, 16:16

ale.b ha scritto:si si, è giusto... stavo facendo un vecchio cesenatico e mi serve un modo per venire a capo di questa cosa nella soluzione del problema.
io ho risolto in modo secondo me poco ortodosso, quindi vorrei vedere le idee di gente più esperta, dato che sono alle prime armi

Ah, ok. Un modo molto semplice:

Tutti i numeri possono essere scritti in 3 modi:

x = 3k [multipli di 3]
x = 3k + 1 [lasciano resto 1 quando divisi per 3]
x = 3k + 2 [lasciano resto 2 quando divisi per 3]

Analizza questi 3 casi per il tuo polinomio sostituendo 3k, 3k+1, 3k+2 ad x dentro x(x² - 3x + 3) e vedi cosa esce.

ale.b · Messaggio da **ale.b** » 28 feb 2010, 16:41

e se invece ci fosse bisogno di trovare i valori di x per i quali $ x(x^2-3x+3)=3^y $?

Spammowarrior · Messaggio da **Spammowarrior** » 28 feb 2010, 17:06

ale.b ha scritto:e se invece ci fosse bisogno di trovare i valori di x per i quali $ x(x^2-3x+3)=3^y $?

(intendo con "i valori di x" i valori INTERI di x, sennò l'equazione data ha infinite soluzioni, che si trovano sulla curva del logaritmo in base 3 del primo membro)
innanzitutto trovi che x deve essere multiplo di tre, quindi sostituisci x=3k nella formula.

ottieni
$ 3k(9k^2-9k+3)=3^y $
$ 9k(3k^2-3k+1)=3^y $

quest'ultima è vera se e solo se entrambi i fattori del primo membro sono potenze di tre, però si nota facilmente che il secondo fattore non è mai multiplo di tre: l'unica soluzione deve essere dunque che $ (3k^2-3k+1)=1 $
che ha come risultato k=0 oppure k=1.

sostituendo nell'equazione iniziale si trova che k=0 non da soluzione, ma k=1 da come coppia (3; 2)

ci siamo però persi delle soluzioni all'inizio: difatti abbiamo supposto che x sia divisibile per tre, ma questo è vero solo se y>0.
risolviamo dunque
$ x(x^2-3x+3)=1 $
$ x^3-3x^2+3x - 1 = 0 $
$ (x-1)^3 = 0 $

che da come ulteriore soluzione (1; 0).

ale.b · Messaggio da **ale.b** » 28 feb 2010, 17:09

perfetto! grazie a tutti dell'aiuto

Spammowarrior · Messaggio da **Spammowarrior** » 28 feb 2010, 17:10

ale.b ha scritto:perfetto! grazie a tutti dell'aiuto

no, aspetta, ho editato il mio messaggio, mi ero perso una soluzione per strada!