(a^3)+3(a^2)+a=x^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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gibo92
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(a^3)+3(a^2)+a=x^2

Messaggio da gibo92 » 24 feb 2010, 17:25

dimostrare che nessun numero dalla forma (a^3)+3(a^2)+a con a intero positivo, è un quadrato perfetto.

è un vecchio cesenatico, io lo ho risolto con una disuguaglianza dopo un'ora ke tentavo di tutto... e volevo sapere se c'è anke una soluzione ke utilizza solo idee standard ecc (o comunque nn disuguaglianze da inventarsi)
Ultima modifica di gibo92 il 24 feb 2010, 17:50, modificato 2 volte in totale.

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 24 feb 2010, 17:34

Spero tu non l'abbia risolto partendo dal testo che hai riportato :?
Correggo io: dimostrare che nessun numero della forma $ a^3+3a^2+a $, con $ \displaystyle a $ intero positivo, è un quadrato perfetto.

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gibo92
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Messaggio da gibo92 » 24 feb 2010, 17:49

hai ragione... ho corretto ora.

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 24 feb 2010, 17:51

raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 24 feb 2010, 18:09

gismondo ha scritto:raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?
Direi di no. Scrivila per bene che è ok!
E giusto per non perdere punti banalmente, ricordiamo che i fattori sono coprimi tranne per..

ale.b
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Messaggio da ale.b » 24 feb 2010, 18:12

a me era venuto in mente di fattorizzarla così:
$ (x+a)(x-a)=a(a+1)^2 $
Ultima modifica di ale.b il 03 mar 2010, 18:11, modificato 1 volta in totale.

emarmotto
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Soluzione alternativa

Messaggio da emarmotto » 02 mar 2010, 20:15

Abbiamo che:

$ (a^2+3a+1)a=a^3+3a^2+a $

Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Si ricava che le soluzioni possibili intere non esistono essendo :

$ a^2+2a+1=0 $

ndp15
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Re: Soluzione alternativa

Messaggio da ndp15 » 02 mar 2010, 20:23

emarmotto ha scritto: Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $
Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?

Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 02 mar 2010, 20:55

$ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=k^2 $

Ma $ gcd(a^2+3a+1,a)=gcd(a^2+3a+1-a(a+3),a)=gcd(1,a)=1 $ quindi sia $ a $ che $ a^2+3a+1 $ sono quadrati perfetti, ma questo è impossibile perchè $ (a+1)^2<a^2+3a+1<(a+2)^2 $ quindi è un quadrato perfetto sse uno dei 2 fattori è 0, quindi:
1) $ a=0 $, non accettabile perchè a non è intero positivo
2) $ a^2+3a+1 $=0, non accettabile perchè a non è intero positivo

Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile... :lol:
Ultima modifica di Giuseppe R il 08 mar 2010, 09:59, modificato 1 volta in totale.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

emarmotto
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Re: Soluzione alternativa

Messaggio da emarmotto » 02 mar 2010, 21:10

ndp15 ha scritto:
emarmotto ha scritto: Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $
Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?
Sorry.....!!!!

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 02 mar 2010, 21:11

Giuseppe R ha scritto: Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile... :lol:
No dovrebbe essere cosi :wink:
Se ci si abitua troppo al livello delirante di Jordan & Co. ormai i Cesenatico sembrano fuffa :lol:

ale.b
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Messaggio da ale.b » 03 mar 2010, 00:43

Giuseppe R ha scritto: $ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $
chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 03 mar 2010, 13:24

ale.b ha scritto:
Giuseppe R ha scritto: $ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $
chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?
lcm corrisponde all'italiano minimo comune multiplo. In quei passaggi si mostra che $ a^2+3a+1 $ e $ \displaystyle a $ sono coprimi, sfruttando il fatto che se $ lcm(m,n)=1 $ allora $ lcm(m+kn,n)=1 $ per $ k $ intero qualsiasi.

ale.b
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Messaggio da ale.b » 03 mar 2010, 13:32

ma scusate, per poter dire che sono coprimi non bisognerebbe guardare piuttosto il GCD?

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gian92
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Messaggio da gian92 » 03 mar 2010, 13:44

provo a dare un'altra soluzione anche se è probabilmente sbagliata.

$ (a^2+3a+a)\cdot a = k^2 $
ma quindi o i due fattori sono uguali e come abbiamo visto è impossibile, oppure imposto il sistema con $ x,y,k,a \in \mathbb{N} $
$ \begin{cases} a^2+3a+1=x \\ a=ky \\ k=xy \end{cases} $
a questo punto ottengo con un po di sostituzioni che
$ x^2y^4+3xy^2+1=x\\ x(xy^4+3y^2-1)=-1 $
ma quindi uno dei due fattori deve essere negativo
ma x non lo è perchè x è naturale, lo deve essere l'altro quindi:
$ xy^4+3y^2 < 1 $ impossibile se x,y sono naturali.

sarò sbagliata ma almeno capisco perchè e ho fatto esercizio col latex :D
Ultima modifica di gian92 il 03 mar 2010, 14:09, modificato 1 volta in totale.

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