simil-Dirichlet

[abc]

So che questo è Dirichlet depotenziato, ma mi chiedo se esiste una dimostrazione elementare di questo (o di Dirichlet)
Per ogni $ n \in \mathbb{N} $ allora $ \exists p $ primo tale che $ p\equiv 1 (mod \ \ n) $ o meglio $ \exists p $ primo tale che $ p\equiv m (mod \ \ n) \ \ \forall (m;n)=1 $

[Nonno Bassotto]

Il secondo enunciato che chiedi È il teorema di Dirichlet.

[abc]

non ne chiedo infiniti, me ne basta anche uno solo di primo. Chi si accontenta gode

[Il_Russo]

In realta' se ne trovi uno in ogni successione aritmetica che rispetti le ipotesi ne trovi infiniti (esercizio). Quindi l'enunciato non sara' molto piu' facile da dimostrare di Dirichlet.

[Anér]

Che io sappia Dirichlet dimostra anche che la somma degli inversi di tutti i siffatti primi diverge.

[<enigma>]

Tenendo a mente ciò che ha precisato Il_Russo, la dimostrazione del primo enunciato richiede soltanto l'uso dei polinomi ciclotomici.


Faccio un breve sunto qui:
se
$ $ \Phi _m (T) = \prod_{1\leq k\leq m \atop MCD(k, m)=1} \left ( T-e^{2\pi i k/m} \right ) $
è l'$ m $-esimo polinomio ciclotomico, ovvero $ \Phi _m (T) $ è il polinomio monico in $ \mathbb C [T] $ le cui radici sono le radici primitive $ m $-esime dell'unità, ci serve soltanto il seguente lemma:

Lemma 1: per ogni intero positivo $ m $, $ \Phi _m (T) $ ha coefficienti interi.
La dimostrazione te la lascio per esercizio.

Lemma 2: se $ F(T) $ è un polinomio non costante con coefficienti interi, allora $ F $ ha infiniti divisori primi.
Dimostrazione: se $ F(0)=0 $, allora ogni primo è un divisore di $ F $: possiamo quindi assumere che il termine costante $ c_0 $ di $ F(T) $ sia $ \neq 0 $; allora $ F(c_0 T)=c_0 G(T) $ per qualche polinomio non costante $ G(T) $ con termine di grado 0 uguale a 1. E' sufficiente dimostrare che $ G $ ha infiniti divisori primi: supponiamo che $ p_1, p_2, p_3, ..., p_k $ sia una lista di divisori primi di $ G $. Per $ m $ abbastanza grande abbiamo $ |G(m p_1 p_2 p_3 ... p_k)|>1 $, e deve esserci quindi qualche numero primo $ p $ che divide $ G(m p_1 p_2 p_3 ... p_k) $: allora $ p $ è un divisore primo di $ G $ e $ p $ non è uguale a nessuno dei $ p_i $, poiché $ G(m p_1 p_2 p_3 ... p_k ) \equiv 1 \pmod p_i $ per ogni $ i\leq i \leq k $. Quindi ogni lista finita di divisori primi di $ G $ è incompleta.

Possiamo quindi arrivare al

Teorema: se $ p $ è un divisore primo di $ \Phi _m $, allora o $ p|m $ o $ p \equiv 1 \pmod m $.
Dimostrazione: se $ p $ è un divisore primo di $ \Phi _m $, allora $ p|\Phi _m (n) $ per qualche intero $ n $; per il Lemma abbiamo dunque che
$ $p|\prod_{d|m} \Phi _d (n) =n^m -1 $
(ti lascio da verificare anche questo), sicché l'ordine di $ n $ modulo $ p $ è un divisore di $ m $. Supponiamo ora che $ p $ non divida $ m $: in questo caso possiamo affermare che $ m $ è l'ordine di $ n $ modulo $ p $, quindi $ m|(p-1) $, da cui $ p \equiv 1 \pmod m $. per dimostrare la nostra affermazione, supponiamo per assurdo che $ f<m $ sia l'ordine di $ n $ modulo $ p $. Allora $ f $ è un divisore proprio di $ m $; inoltre $ p|n^f -1=\prod_{e|f} \Phi _e (n) $, dimodoché $ p| \Phi _e (n) $ per qualche $ e|f $. Quindi la classe di resto $ n \mod p $ è uno zero sia di $ \Phi _e (n) $ che di $ \Phi _m (n) $, che compaiono entrambi nella fattorizzazione
$ $T^m-1= \prod _{d|m} \Phi _d (T) $
ovvero $ T^m -1 $ ha uno zero di ordine $ \geq 2 $ in $ \mathbb Z /p \mathbb Z $. Ma $ T^m -1 $ non ha radici multiple in $ \mathbb Z /p \mathbb Z $, poiché $ T^m-1 $ non ha radici multiple in comune con la sua derivata $ mT^{m-1} $, da cui l'assurdo.

Poiché $ m $ ha solo un numero finito di divisori primi, possiamo quindi applicare il Lemma 2 e il Teorema 1 per arrivare infine al

Corollario: per ogni numero naturale $ m $, ci sono infiniti numeri primi $ p \equiv 1 \pmod m $.

(La dimostrazione originale era un po' più dettagliata, spero tu la capisca comunque, e scusate la mia scarsa familiarità col LaTex e le inevitabili imprecisioni che ci saranno visto che sono un po' affaticato, quindi segnalatemi eventuali errori)

Per una dimostrazione ancora più elementare di un caso particolare puoi guardare un mio precedente post.


Per quanto riguarda la seconda affermazione, possiamo darne diverse dimostrazioni: una fa uso di quella che è meglio conosciuta col suo nome inglese di class number formula (forse ne hai già sentito parlare):
$ L(1, \chi )= \frac {\pi h}{\sqrt D} $
dove $ L(1, \chi ) $ è una $ L $-serie di Dirichlet
$ $L(s, \chi ) := \sum_{n=1}^{\infty } \frac {\chi (n)} {n^s} $,
e $ \chi $ è un carattere di Dirichlet, per arrivare al pilastro della dimostrazione:
$ L(1, \chi ) \neq 0 $.
Uno può anche dimostrarlo più direttamente (non chiedermi di scrivere una pagina di formule perché mi sono stancato, forse un'altra volta!) e in maniera molto più elementare.
Possiamo anche dare la stima
$ $\sum_{p\leq x \atop p \equiv a \pmod m} \frac {\log p} p = \frac 1 {\varphi (m)} \log x +O(1) $.
L'uso delle $ L $-serie è comunque inevitabile. Puoi sicuramente trovare più informazioni su qualunque buon testo di teoria dei numeri, ma devi avere buone conoscenze di base.

Sperando di esserti stato utile, ti saluto.

[<enigma>]

Per chi fosse interessato, aggiungo i due riferimenti da cui ho attinto a piene mani, che consiglio a tutti di leggere

Paul Pollack, Not Always Buried Deep, American Mathematical Society

J. B. Friedlander, D. R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski, Analytic Number Theory, Springer - Lecture Notes in Mathematics (1891)