Il problema 50 di gauss91

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Il problema 50 di gauss91

Messaggio da jordan » 17 feb 2010, 09:20

Mostrare che l'equazione $ x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x) $ ammette infinte soluzioni in $ \mathbb{Z}^3 $.
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kn
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Messaggio da kn » 17 feb 2010, 16:39

Si può riscrivere così
$ \displaystyle~x^2+y^2+z^2=(z-x)(z-y)(y-x) $
Esistono infinite terne $ \displaystyle~(x,y,z) $ con $ \displaystyle~z-y=y-x $.
Ponendo infatti $ \displaystyle~z-y=y-x=a $ otteniamo
$ \displaystyle~x^2+(x+a)^2+(x+2a)^2=2a\cdot a\cdot a $
$ \displaystyle~3x^2+6ax+a^2(5-2a)=0 $
$ \displaystyle~\frac{\Delta}{4}=9a^2-3a^2(5-2a)=6a^2(a-1) $, dunque affinché l'ultima equazione abbia soluzione basta che $ \displaystyle~a=6q^2+1 $ per qualche $ \displaystyle~q $. Al variare di $ \displaystyle~q $ si ottengono infinite terne $ \displaystyle~(x,y,z) $ (sono distinte visto che cambia il valore di $ \displaystyle~z-y $).

Se Gauss91 passa per caso di qua può mettere anche la sua soluzione? (se è diversa..)
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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 17 feb 2010, 17:54

Una divagazione non-elementare a scopo divulgativo:

Usualmente su una curva ci aspettiamo un numero finito di punti interi.
Quando dico "su una curva" intendo ad esempio un'equazione polinomiale in due incognite; il luogo di zeri reali di questa equazione sarà una certa curva nel piano, e risolverla come equazione diofantea vuol dire trovare quali sono i punti a coordinate intere su questa curva. Lo stesso discorso si potrebbe applicare anche ad un sistema di due equazioni polinomiali in 3 incognite, o comunque un sistema di equazioni polinomiali il cui luogo di zeri reali (in realtà la cosa giusta da guardare sarebbero gli zeri complessi) sia una curva. Se voi scrivete un'equazione polinomiale "generica" le soluzioni intere saranno solo in numero finito; in effetti essenzialmente ci sono solo due tipi di curve che hanno infiniti punti interi: le rette e le iperboli, ed ogni equazione in due variabili che ammette infinite soluzioni intere può essere ricondotta tramite sostituzioni ad un'equazione lineare o ad una Pell-like.

L'equazione proposta da Gauss91 è in 3 variabili, ed il suo luogo di zeri è una superficie nello spazio. A differenza che per le curve, per le superfici in generale non sarà sorprendente l'esistenza di infinite soluzioni intere; intuitivamente immaginate che su una superficie vi sono infinite curve, e basta che una di esse sia del tipo speciale che possiede infiniti punti interi per averne infiniti sulla superficie. Questo è in effetti quello che ha fatto kn: ha intersecato la superficie di partenza col piano z-y=y-x, ottenendo in questo modo una curva, ed ha mostrato che su questa curva ci sono infiniti punti interi.

Mentre per le curve ci aspettiamo, a meno di casi particolari, che ci siano un numero finito di soluzioni intere, per le superfici ci aspettiamo, generalmente, che i punti interi, eventualmente infiniti, non siano distribuiti uniformemente sulla superficie ma si trovino su un numero finito di curve speciali.

Nel caso concreto di questa equazione io so dimostrare, con metodi tutt'altro che elementari, che è in effetti così: le soluzioni intere si trovano su un numero finito di curve, tuttavia non conosco un modo generale per trovare quali sono queste curve. Sarebbe interessante porsi la domanda: È vero che tutte le soluzioni dell'equazione di partenza si trovano su uno dei tre piani 2x=y+z, 2y=x+z, 2z=x+y ?

Ultima nota: dire che le soluzioni stanno su una curva è come dire che sono parametrizzabili in modo polinomiale, ad esempio le soluzioni trovate da kn sono della forma
x=12t^3-6t^2+2t-1
y=12t^3+2t
z=12t^3+6t^2+2t+1.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

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kn
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Messaggio da kn » 17 feb 2010, 19:19

Alcune soluzioni che purtroppo non stanno su quei tre piani (con z > y > x):
(-1;1;2)
(55;85;100)
(60;75;105)
(115;161;184)
(175;205;260)
(155;250;265)
(259;266;497)
(650;715;845)
(736;943;989)
alcune appartengono al piano 2(z-y)=y-x
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