Attento, come dici te la formula degli esponenti è per ricavare il NUMERO dei divisori, non quali siano.
Semplicemente, data la fattorizzazione di un numero, i suoi divisori corrispondono al prodotto di tutti gli esponenti della fattorizzazione aumentati di 1.
La dimosrazione è semplice semplice:
E' scontato che un divisore di un numero dev'essere un sottoinsieme della sua fattorizzazione.
Non è detto però che il divisore contenga tutti i fattori primi del numero.
In pratica è come dire che per comporre il divisore ogni fattore primo p^k può essere preso in qualsiasi esponente da 0 a k, che sono ovviamente k+1.
Infatti si aggiunge lo 0 alla nostra scelta perchè, in quanto ogni numero elevato alla 0 fa 1, e in quanto 1 elemento neutro della moltiplicazione, consente di "far finta" che quel determinato fattore primo non sia stato preso, fino al caso estremo in cui tutti i fattori primi vengono presi alla 0, che darà il divisore 1.
Infatti, NOTA BENE: quella formula include nei divisori anche 1 (tutti i fattori primi alla 0) e il numero stesso (tutti i fattori primi al massimo esponente).
Ho provato a dirtela a parole per farti capire come funziona, se vuoi simboli procedo
