pq|5^p+5^q

[Reginald]

o l'ordine di 5 modulo q è multiplo di 4

forse è l'orario ma non capisco come ottieni questo...
(lo so, sono pazzo a essere sul forum a quest'ora, ma vabbè)

Faccio così:
ho che $ 5^{p-1}\equiv -1\pmod q $(*), allora, visto che p non è 2, p-1 è pari. Inoltre so che $ 5^{2(p-1)}\equiv 1\pmod q $. Quest'ultima cosa mi dice che, se chiamo x l'ordine di 5 modulo q, x|2(p-1), ma per la (*) x non divideva p-1.
Se x fosse multiplo di 2 e non di 4 allora, posto che nella fattorizzazione di p-1 il 2 c'è, e che l'unica differenza tra la fattorizzazione di p-1 e 2(p-1) è che in
2(p-1) il fattore 2 compare con esponente maggiore, si avrebbe che x|p-1, che però non è vero.


@ghilu: cos'è $ v_2(x) $? ..

EDIT: col simbolo di legendre penso che sia così: posto che -1 è residuo per la (*) si deve avere $ $(\frac{-1}{q})=1;(\frac{-1}{q})\equiv -1^{\frac{q-1}{2}}\pmod q $, quindi necessariamente p-1/2 è pari e quindi p è congruo a 1 modulo 4, così salto il fatto di dover passare per l'ordine per dimostrare $ q\equiv 1\pmod 4 $..

[Maioc92]

perfetto, grazie

[ghilu]

In generale
$ v_p(x) $
indica la massima potenza di p (primo) che divide x.
Esso è un simbolo molto utile perché permettere di scrivere formule corte e facili da utilizzare, senza tanti giri di parole.
Ha proprietà come queste:
$ v_p(a\cdot b)=v_p(a)+v_p(b) $
$ v_p(\frac{a}{b})=v_p(a)-v_p(b) $
$ b|a \Rightarrow v_p(b) \leq v_p(a) \ \ \forall \ \ p\ \ \ primo $.