Easy equation in Q-part 2.

[jordan]

Trovare tutti gli x,y razionali tali che x²+y²+xy-3y=2009.

[Giulius]

Riscrivo come:
$ x^2+xy+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2-3y+3=2012 $
ossia raccogliendo:
$ (x+\frac{1}{2}y)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3})^2=2012 $
$ (x+\frac{1}{2}y)^2+3(\frac{1}{2}y-1)^2=2012 $
Ossia per qualche A,B razionale vale:
$ A^2+3B^2=2012 $
che porta all'omogenea in N:
$ X^2+3Y^2=2012Z^2 $.
Dimostriamo ora che quest'ultima non ha soluzioni in N:
$ 2012\equiv2 \mod3 $ quindi $ X^2\equiv2Z^2 \mod3 $ quindi l'unica è che $ 3|X $ e $ 3|Z $. Questo diventa:
$ 9X_1^2+3Y^2=2012*9Z_1^2 $, dividendo per 3 si ottiene:
$ 3X_1^2+Y^2=2012*3Z_1^2 $ quindi $ 3|Y $ quindi:
$ 3X_1^2+9Y_1^2=2012*3Z_1^2 $ quindi divido ancora per 3:
$ X_1^2+3Y_1^2=2012Z_1^2 $
doh! è quella di prima quindi applico la discesa infinita e ho finito.

[danielf]

$ A^2+3B^2=2012 $
che porta all'omogenea in N:
$ X^2+3Y^2=2012Z^2 $.

perchè?

[Giulius]

$ A,B \in \mathbb Q^2 $ allora $ \exists x,y,z,w \in \mathbb N^4 $ tali che $ A=x/y $ e $ B=z/w $ con $ (x,y)=1 $ e $ (z,w)=1 $.
Quindi:
$ A^2+3B^2=2012 $ con A,B razionali implica
$ (x/y)^2+3(z/w)^2=2012 $
moltiplicando per $ (yw)^2 $ diventa:
$ (xw)^2+3(zy)^2=2012(yw)^2 $
se chiamo
$ X=xw $
$ Y=zy $
$ Z=yw $
allora diventa:
$ X^2+3Y^2=2012Z^2 $ con $ X,Y,Z \in \mathbb N^3 $

[jordan]

Good, qui c'è la mia soluzione, leggermente diversa