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Si dimostri che se $ p $ e $ p^2+2 $ sono numeri primi, allora anche $ p^3+2 $ è primo.[/tex]

Fedecart ha scritto:Si dimostri che se $ p $ e $ p^2+2 $ sono numeri primi, allora anche $ p^3+2 $ è primo.

LEMMA
Tutti i numeri primi, esclusi $ 2 $ e $ 3 $, sono della forma $ 6n-1 $ o $ 6n+1 $ per qualche intero $ n $.
(Lascio la semplice dimostrazione al lettore).

DIMOSTRAZIONE
Casi particolari:
1- Per $ p=2 $ abbiamo $ p^2+2=6 $ non primo.
2- Per $ p=3 $ abbiamo $ p^2+2=11 $ e $ p^3+2=29 $ primi.

Caso generale:
Se $ p $ è primo allora $ p^2+2=36n+12n+3 $ o $ p^2+2=36n-12n+3 $ per qualche intero $ n $, ma $ 3 $ divide sia $ 36n+12n+3 $ sia $ 36n-12n+3 $ quindi $ p^2+2 $ risulta è composto.
La tesi è quindi verificata poichè l'unico numero $ p $ tale che sia $ p $ che $ p^2+2 $ risultano primi, è primo anche per $ p^3+2 $

Molto piu' semplicemente, $ p=3 $: funziona. Per $ p\neq 3 $, $ p^2+2\equiv 0\, \pmod{3} $ e quindi il secondo non e' mai piu' primo. stop.

Ho tralasciato le congruenze poichè era banale anche senza; per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice

ndp15 ha scritto:... per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice

Non mi pare. Un qualsiasi numero non divisibile per 3 ha come resto 1 o 2, modulo 3. Quindi il suo quadato avra' resto 1, che sommato a 2 da 3.... cioe' 0, modulo 3. Non serve nessun lemma.

geda ha scritto:

ndp15 ha scritto:... per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice

Non mi pare. Un qualsiasi numero non divisibile per 3 ha come resto 1 o 2, modulo 3.

E cosi mi pare corretto.
Nella tua prima dimostrazione hai solo scritto che se $ p \neq 3 $ allora $ p^2+2 \equiv 0 \pmod 3 $, ma se $ p $ fosse uguale a $ 6 $ ? Lo so che è ovvio ma devi specificare che $ p \neq 3m $ per $ m $ intero maggiore di $ 1 $, il che equivale al lemma (o meglio è un po' meno forte, poichè il lemma ci dice anche che $ p \neq 2t $ per $ t $ intero).
Ovviamente sono solo sottigliezze, so che hai compreso benissimo la dimostrazione.

Sbaglio, o è il famoso teorema del "Grande Puffo" ??

Ma scusa non è implicito nel fatto che $ p $ sia primo, il fatto che sia diverso da $ 3m $? D'altronde le ipotesi impongono $ p $ primo!

exodd ha scritto:Sbaglio, o è il famoso teorema del "Grande Puffo" ??

Ebbene sì

ndp15 ha scritto: Ovviamente sono solo sottigliezze...

Appunto.... ti ha risposto Gauss91.