Se p e p^2+2 son primi lo è anche p^3+2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Fedecart
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Se p e p^2+2 son primi lo è anche p^3+2

Messaggio da Fedecart » 15 dic 2009, 19:27

Si dimostri che se $ p $ e $ p^2+2 $ sono numeri primi, allora anche $ p^3+2 $ è primo.[/tex]

ndp15
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Re: Se p e p^2+2 son primi lo è anche p^3+2

Messaggio da ndp15 » 15 dic 2009, 20:16

Fedecart ha scritto:Si dimostri che se $ p $ e $ p^2+2 $ sono numeri primi, allora anche $ p^3+2 $ è primo.
LEMMA
Tutti i numeri primi, esclusi $ 2 $ e $ 3 $, sono della forma $ 6n-1 $ o $ 6n+1 $ per qualche intero $ n $.
(Lascio la semplice dimostrazione al lettore).

DIMOSTRAZIONE
Casi particolari:
1- Per $ p=2 $ abbiamo $ p^2+2=6 $ non primo.
2- Per $ p=3 $ abbiamo $ p^2+2=11 $ e $ p^3+2=29 $ primi.

Caso generale:
Se $ p $ è primo allora $ p^2+2=36n+12n+3 $ o $ p^2+2=36n-12n+3 $ per qualche intero $ n $, ma $ 3 $ divide sia $ 36n+12n+3 $ sia $ 36n-12n+3 $ quindi $ p^2+2 $ risulta è composto.
La tesi è quindi verificata poichè l'unico numero $ p $ tale che sia $ p $ che $ p^2+2 $ risultano primi, è primo anche per $ p^3+2 $
Ultima modifica di ndp15 il 15 dic 2009, 20:42, modificato 1 volta in totale.

geda
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Messaggio da geda » 15 dic 2009, 20:24

Molto piu' semplicemente, $ p=3 $: funziona. Per $ p\neq 3 $, $ p^2+2\equiv 0\, \pmod{3} $ e quindi il secondo non e' mai piu' primo. stop.

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 15 dic 2009, 20:45

Ho tralasciato le congruenze poichè era banale anche senza; per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice :wink:

geda
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Messaggio da geda » 15 dic 2009, 21:01

ndp15 ha scritto:... per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice :wink:
Non mi pare. Un qualsiasi numero non divisibile per 3 ha come resto 1 o 2, modulo 3. Quindi il suo quadato avra' resto 1, che sommato a 2 da 3.... cioe' 0, modulo 3. Non serve nessun lemma.

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 15 dic 2009, 21:18

geda ha scritto:
ndp15 ha scritto:... per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice :wink:
Non mi pare. Un qualsiasi numero non divisibile per 3 ha come resto 1 o 2, modulo 3.
E cosi mi pare corretto.
Nella tua prima dimostrazione hai solo scritto che se $ p \neq 3 $ allora $ p^2+2 \equiv 0 \pmod 3 $, ma se $ p $ fosse uguale a $ 6 $ ? Lo so che è ovvio ma devi specificare che $ p \neq 3m $ per $ m $ intero maggiore di $ 1 $, il che equivale al lemma (o meglio è un po' meno forte, poichè il lemma ci dice anche che $ p \neq 2t $ per $ t $ intero).
Ovviamente sono solo sottigliezze, so che hai compreso benissimo la dimostrazione.

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exodd
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Messaggio da exodd » 15 dic 2009, 21:41

Sbaglio, o è il famoso teorema del "Grande Puffo" ??
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 15 dic 2009, 21:45

Ma scusa non è implicito nel fatto che $ p $ sia primo, il fatto che sia diverso da $ 3m $? D'altronde le ipotesi impongono $ p $ primo!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 15 dic 2009, 21:47

exodd ha scritto:Sbaglio, o è il famoso teorema del "Grande Puffo" ??
Ebbene sì
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

geda
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Messaggio da geda » 15 dic 2009, 22:57

ndp15 ha scritto: Ovviamente sono solo sottigliezze...
Appunto.... ti ha risposto Gauss91.

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