(1+1/2+1/3+...) - (sum 1/x, dove 2009 compare in x)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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(1+1/2+1/3+...) - (sum 1/x, dove 2009 compare in x)

Messaggio da jordan » 12 dic 2009, 02:09

Sia S l'insieme di tutti gli interi positivi tali che 2009 non compare nella loro rappresentazione decimale. Mostrare che $ \sum_{x \in S}{\frac{1}{x}} $ non diverge.
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Haile
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Messaggio da Haile » 12 dic 2009, 13:55

Titolo e testo del problema non coincidono... immagino che quello sbagliato sia il testo(?)

EDIT: niente, capito grazie a pak-man

Non avevo interpretato il " - " nel titolo come un "meno", ma come un'ulteriore spiegazione di sum(x), e quindi non mi ritrovavo :?
Ultima modifica di Haile il 12 dic 2009, 14:38, modificato 3 volte in totale.
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 12 dic 2009, 14:22

Haile ha scritto:Titolo e testo del problema non coincidono... immagino che quello sbagliato sia il testo(?)
No, è giusto ;) infatti $ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $, che è il titolo del topic

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<enigma>
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Messaggio da <enigma> » 19 dic 2009, 15:15

Ci ho passato alcune ore sopra prima di scoprire che qualcuno lo ha già fatto, e con un metodo molto più immediato di quello a cui avevo pensato io!
http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/ent/as.pdf
Sarebbe interessante ora calcolare il valore limite approssimato della somma, visto che questa è finita.

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Haile
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Messaggio da Haile » 19 dic 2009, 15:52

<enigma> ha scritto:Ci ho passato alcune ore sopra prima di scoprire che qualcuno lo ha già fatto, e con un metodo molto più immediato di quello a cui avevo pensato io!
http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/ent/as.pdf
Sarebbe interessante ora calcolare il valore limite approssimato della somma, visto che questa è finita.
http://mathworld.wolfram.com/KempnerSeries.html

il valore approssimato della serie, quando viene esclusa una sequenza di 4 cifre, è circa $ ~ 10^4 \cdot \ln(10) \approx 23025.85 $

Interessante comunque il problema... prima di leggerlo avrei scommesso per la divergenza
[i]
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[/i]

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 19 dic 2009, 17:05

pak-man ha scritto:$ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $
Hmm, questo serve a dare una motivazione al titolo, ma di per sé non significa nulla. Voglio dire: non si può mettere un = tra quelle due espressioni.
E come sapete, di risultati "paradossali" sui riarrangiamenti delle serie ce n'è a bizzeffe, abbastanza da scoraggiare i più ovvi tentativi di dare un significato a quel segno di =...
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 19 dic 2009, 17:16

Tibor Gallai ha scritto:
pak-man ha scritto:$ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $
Hmm, questo serve a dare una motivazione al titolo, ma di per sé non significa nulla. Voglio dire: non si può mettere un = tra quelle due espressioni.
E come sapete, di risultati "paradossali" sui riarrangiamenti delle serie ce n'è a bizzeffe, abbastanza da scoraggiare i più ovvi tentativi di dare un significato a quel segno di =...
Puoi spiegare questa cosa meglio... una volta (non ricordo il contesto) mi avevate corretto un errore del genere con le serie infinite... ma non avevo indagato, ora vorrei capire cosa c'è di sbagliato in quell'uguaglianza che a me pare palesemente vera :|
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Il_Russo
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Messaggio da Il_Russo » 19 dic 2009, 19:16

Semplicemente una somma infinita, detta anche serie, non è una somma. La notazione $ $ \sum_{i=0}^{+\infty} a_i $ rappresenta infatti il limite della successione $ $ a_0 $, $ $ a_0 + a_1 $, $ $ a_0 + a_1 + a_2 $, ecc., se questo limite esiste (in particolare se è finito la serie si dice convergente, se è infinito divergente), mentre se questo limite non esiste la notazione rappresenta ben poco e diciamo che la serie è indeterminata.
Quindi sottrarre o sommare serie tra loro ha ben poco senso (a meno che si specifichi meglio quello che si sta facendo), soprattutto in questo caso, poiché, come potete dimostrare (esercizio: provateci. Esistono maniere elementari per farlo) $ $ \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}=+\infty $, ossia sommando abbastanza inversi degli interi si riesce a superare qualunque numero positivo. Nel titolo del thread si ha appunto la differenza tra due serie divergenti a $ $ +\infty $, ma la differenza tra due limiti infiniti è indeterminata.

Un esempio di paradosso cui può portare un approccio "spensierato" al problema puoi trovarlo qui http://nonciclopedia.wikia.com/wiki/%E2%88%9E%2B1%3D0
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Messaggio da dario2994 » 19 dic 2009, 19:38

Chiarissimo
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la divergenza... ma anche no

Messaggio da <enigma> » 19 dic 2009, 19:44

:shock: Sai che anch'io avrei scommesso per la divergenza? Però quando ho visto la dimostrazione ho dovuto ricredermi. Chissà se esiste qualche problema simile sui reciproci dei numeri primi. :)

--Dimenticavo: ringrazio jordan per avermi portato a conoscenza di ciò.

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jordan
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Messaggio da jordan » 19 dic 2009, 23:56

1. Si avete ragione circa l'uguaglianza..
2. il link postato da enigma comunque si riferisce alla convergenza quando si elimina dai termini della sommatoria la cifra 7; qui invece si chiede quando si elimina il 2009, chi completa la dimostrazione?
3. Sui numeri primi mi pare di averlo già postato :wink:
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