Dimostrazione Semplice.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Messaggio da jordan » 09 dic 2009, 20:11

ndp15 ha scritto:Ho lasciato sottointeso che $ 1+3+5+...+n $ indicasse la somma dei primi $ \frac {n+1}{2} $ numeri dispari. Se vuoi scriviamo $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,n]}{2i+1} $ cosi siamo tutti più contenti (soprattutto Jordan) :) .
LOL :lol: Comunque, se non vuoi cambiare significato a $ n $ (per ipotesi dispari) allora è $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{(2i+1)} $ che è $ \displaystyle 2\sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{i}+\sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{1} $ cioè $ \displaystyle 2\frac{\frac{n-1}{2}\cdot \frac{n+1}{2}}{2} + \frac{n+1}{2}= \left( \frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}+1\right)=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 $. []
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Haile
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Messaggio da Haile » 09 dic 2009, 20:14

Gauss91 ha scritto:$ n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $: un numero (n+1) al quadrato è il quadrato del numero precedente (n) più l'n-esimo numero dispari.
Questo basta per la tesi.
Questo equivale alla mia induzione =P
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 20:58

Gauss91 ha scritto:$ n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $: un numero (n+1) al quadrato è il quadrato del numero precedente (n) più l'n-esimo numero dispari.
Questo basta per la tesi.
Scusa ma sinceramente non ho capito.....cosa significa è il quadrato di n e dell'n-esimo numero dispari? Possiamo dire in parole povere che n+1 equivale alla posizione che occupa l'ultimo numero dispari.

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 09 dic 2009, 21:58

per come ha fatto gauss91

(n+1 )^2 è un qualsiasi numero, pari o dispari, elevato al quadrato. Questo numero equivale a prendere il quadrato precedente, n^2 e sommarlo ad una quantità 2n+1 che come vedi è dispari per qualsiasi n intero.

L'enunciazione da lui poi fornita, dice semplicemente che se prendi il 3° numero dispari, la formula esce

3^2+6+1 = (3+1)^2 che è vera.

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 22:03

Si ho capito cosa intendeva, è più semplice, anche se meno tecnica (e più terra terra ) :D dire che n+1 corrisponde alla posizione del numero(secondo la dimostrazione dal quale la formula deriva, n è il numero pari prima dell'ultimo numero dispari, fratto 2(che definizione di mer*a XD)) Es.
$ 1+3+5+7 $
$ 7 $ è il quarto numero e la soma equivale infatti a $ 4^2 $

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 09 dic 2009, 22:41

OriginalBBB ha scritto:Prendiamo l'n esimo numero dispari, la somma con tutte le precedenti sarà

n + n-2+n-4+n-6+n-8+n-10+.....1=

n (n+1)/2 – (n+1)(n-1)/4 =

(2n^2+2n-n^2+1)/4 che è il quadrato di ((n+1)/2)^2
Era già contenuto qua:
la somma di tutti i dispari fino all'n esimo dispari equivale a ((n+1)/2)^2

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 09 dic 2009, 23:09

Come detto da Haile, la mia enunciazione contiene in sé l'induzione: chiamiamo $ d_i=2i+1 $ l'i-esimo numero dispari.
Allora è
$ (n+1)^2 = n^2 + d_n = (n-1)^2 + d_{n-1} + d_n = ... = 1 + d_2 + ... + d_{n-1}+d_n = d_0 + d_2 + ... + d_{n-1}+d_n $,
perché $ d_0 = 1 $. Insomma, la somma dei primi n+1 dispari (da 1 a 2n+1) è uguale a $ (n+1)^2 $.
L'idea base è la stessa dell'induzione, ma così mi sembra di più immediata comprensione. Ricordatevi che ogni qual volta ci sono i "puntini" è come se si usa l'induzione. Ma il come si usa a volte conta! 8)
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 23:12

Comunque anche se semplice era un interessante quesito XD
(Ma Jordan studia proprio per rendere le cose più difficili? :P ) è un pazzo :lol:

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 10 dic 2009, 16:33

Ma scusa jordan, ma da chi hai imparato quella notazione barocca per le somme finite? :?
...

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 dic 2009, 18:12

Azzardo un hitleuler.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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