OliForum Matematico

Dimostrare che la somma di numeri dispari consecutivi a partire da 1 è sempre un quadrato perfetto.

(scusatemi se era già stato postato....probabilmente sarà un classico )

Dimostrarlo in più modi possibili

L'ho messo per chi è alle prima armi con le dimostrazioni e in questo forum raramente trova cose per lui....io l'ho già dimostrato

Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $

L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.

Chi pensa a farlo per via grafica?

Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Comunque senza induzione:


Possiamo scrivere la somma di numeri dispari consecutivi come:
$ 2(0)+1+2(1)+1+2(2)+1+.....+2(n)+1 $
Raccogliendo il 2 e sommando gli 1:
$ 2(0+1+2+...+n)+1+n $
Scriviamo l'interno della parentesi come:
$ \not2(\frac{n(n+1)}{\not2})+n+1=n^2+n+n+1=(n+1)^2 $

Claudio. ha scritto:Tu sei alle prima armi? LoL

Di fronte a certi problemi sono proprio disarmato a dir la verità
Comunque ho messo solo una possibile dimostrazione, non ho mica tolto lavoro ai novellini.

Ho modificato il post di prima, mi sa che hai fatto un'errore se non sbaglio.

Claudio. ha scritto:L'ho messo per chi è alle prima armi con le dimostrazioni e in questo forum raramente trova cose per lui....io l'ho già dimostrato

tu non puoi saperlo perchè sei nuovo, ma molti problemi con il tag "da lasciare a chi è alle prime armi" rimangono senza risposte, perchè gli individui alle prime armi scarseggiano su questo forum... quindi tanto vale che la soluzione per quanto semplice sia scritta da qualcuno di più esperto

una somma dei primi n numeri dispari è n^2 in quanto area di un quadrato di lato n.
Infatti identificando con un punto ogni numero intero ( in onore al padre Pitagora e soci ) o con una lettera per indicare che ogni punto fa parte di numeri differenti si avrà:
$ 1+3 $
A B
B B
[/tex]1+3+5$ A B C B B C C C C $1+3+5+...+n$ A B C ... N B B C ... N C C C ...N ......... ...N N N N N N Va bene come disostrazione? $

Claudio. ha scritto:Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.

Ho lasciato sottointeso che $ 1+3+5+...+n $ indicasse la somma dei primi $ \frac {n+1}{2} $ numeri dispari. Se vuoi scriviamo $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,n]}{2i+1} $ cosi siamo tutti più contenti (soprattutto Jordan) .

ndp15 ha scritto:Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $

L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.

Chi pensa a farlo per via grafica?

Vale anche sempre per induzione ma in altri modi?

Penso che basti qualcosa del tipo

*) $ ~ 1+3 = 2^2 $

**) $ $ \sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2 $

***) $ $ \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $

Vi farei notare che ogni volta che mettete i puntini vi state pericolosamente avvicinando ad usare l'induzione.

Prendiamo l'n esimo numero dispari, la somma con tutte le precedenti sarà

n + n-2+n-4+n-6+n-8+n-10+.....1=

n (n+1)/2 – (n+1)(n-1)/4 =

(2n^2+2n-n^2+1)/4 che è il quadrato di ((n+1)/2)^2

Altrimenti possiamo altrimenti scrivere i numeri dispari come

2(1+2+3+...n) – 1(n)=

2(n(n+1)/2)-n=

n^2 + n -n = n^2

$ n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $: un numero (n+1) al quadrato è il quadrato del numero precedente (n) più l'n-esimo numero dispari.
Questo basta per la tesi.

Complimenti!