Dimostrazione Kangourou.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Claudio.
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Dimostrazione Kangourou.

Messaggio da Claudio. » 06 dic 2009, 19:59

Mostrare qual'è il più piccolo n per cui
$ (2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdot...\cdot(n^2-1) $
sia un quadrato perfetto, e dimostrare se esistono infiniti n che soddisfano tale proprietà.

geda
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Re: Dimostrazione Kangourou.

Messaggio da geda » 07 dic 2009, 15:21

Claudio. ha scritto:Mostrare qual'è il più piccolo n per cui
$ (2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdot...\cdot(n^2-1) $
sia un quadrato perfetto, e dimostrare se esistono infiniti n che soddisfano tale proprietà.
Provo. Sviluppando i prodotti notevoli (diff. di due quadrati) si vede che
$ (2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdot...\cdot(n^2-1)=1\cdot {\bf 3} \cdot 2 \cdot {\bf 4} \cdot 3 \cdot {\bf 5} \cdot 4 \cdot {\bf 6} \cdot 5 \cdot {\bf 7}\cdot 6 \cdot {\bf 8}\cdot \,(\textrm{\small sin qui e' per $n=7$})...=\frac12 (n-1)!(n+1)!= \frac{n(n+1)}{2}[(n-1)!]^2 $

Quindi, affinche' il prodotto iniziale sia un quadrato perfetto si deve avere che $ \frac{n(n+1)}{2}[(n-1)!]^2=k^2 $, cioe' $ \frac{n(n+1)}{2} $ deve essere un quadrato perfetto. Poiche' $ (n,n+1)=1 $, si deve avere:

a) $ n=2\alpha^2 $, $ n+1=\beta^2 $, e qundi si devono trovare le soluzioni dell'equazione di Pell $ \beta^2-2\alpha^2 =1 $.

b) $ n=\delta^2 $, $ n+1=2\gamma^2 $, e qundi si devono trovare le soluzioni dell'equazione di Pell $ \delta^2-2\gamma^2 =-1 $.

Se non sbaglio entrabbe hanno infinite soluzioni (risposta alla seconda domanda) ed e' possibile trovare una soluzione opportuna in modo tale che si abbia il piu' piccolo $ n $ (pero' non c'ho voglia di farlo :?)

Esiste una soluzione migliore? O almeno che non faccia uso della poco piacevole equazione di Pell?

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 07 dic 2009, 15:40

Io non sono riuscito a dimostrarne l'infinità...il quesito originale chiedeva semplicemente di trovare il minore n, io ho poi cercato di dimostrare che erano infiniti senza successo e ho voluto postarlo quì, infatti ho scritto dimostrare "se" esistono infiniti....mi sa che è più complicato del previsto :P

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 07 dic 2009, 15:55

Non è così complicato dimostrare che esistono infinite soluzioni a $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=k^2 $.
Sia $ n(n+1)=2k^2 $. Voglio dimostrare che esistono infiniti $ n $ che soddisfano questa condizione per qualche $ k $. Prima di tutto, supponiamo che esista effettivamente un $ k $ tale che quell'equazione sia possibile. Allora è vera anche, moltiplicando ambo i membri, $ 2n(n+1)=4k^2 $, e ponendo $ 2k=h $, si ha $ 2h^2 = 4n(n+1) $, da cui $ 2h^2 + 1 = (2n+1)^2 $ e infine $ 2h^2(2h^2+1)=2h^2(2n+1)^2 = 2H^2 $.
Dunque, se esiste un $ n $ che soddisfa la condizione di partenza, posto $ n(n+1)=2k^2 $ si ha che anche $ 8k^2 $ la soddisfa. Siccome questo $ n $ esiste veramente (per verifica diretta $ n=1 $, o se deve essere maggiore di 2, $ n=8\cdot1^2=8 $, che sono i più piccoli possibili) allora ne esistono infiniti.
Spero di essere stato chiaro! ;)
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 07 dic 2009, 16:06

No...non capisco il collegamento tra:
$ (2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdot(5^2-1)\cdot... $ e
$ n(n+1)=2k^2 $ e poi perchè quando poni $ 2k=h $ il 2 che moltiplica il binomio con n diventa 4?

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 07 dic 2009, 16:14

Dunque il fatto è che l'espressione del problema è pari a $ [(n-1)!]^2\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} $ come già detto da geda. Dunque $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} $ deve essere un quadrato perfetto, come geda ha già spiegato :P .
Per l'altra domanda, prova a fare i passaggi e ti viene $ 2n(n+1)=h^2 $, da cui $ 4n(n+1)=2h^2 $, mi sn permesso di saltare qualche passaggino... :roll:
Ora va bene?
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 07 dic 2009, 21:37

Si, sto iniziando ora a fare le mie prima dimostrazioni quindi scusa se mi mancano proprio le basi XD

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 07 dic 2009, 23:16

Nulla forse mancano ancora di più a me! :P
Comunque effettivamente il porre $ 2k=h $ potevo anche evitarmelo e continuare direttamente con $ 8k^2 $... ma quel che è fatto è fatto, e mi pare comunque giusto.
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Willy67
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Messaggio da Willy67 » 14 dic 2009, 21:33

Non ho capito :shock:

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Messaggio da Willy67 » 14 dic 2009, 22:05

scusate io sono rimasto al primo passaggio.
se $ (2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(n^2-1) = 3\cdot {1} \cdot {3} \cdot {4} \cdot {2} \cdot {5} \cdot {3} \cdot {6} \cdot {4} \cdot {7} \cdot {5} \cdot {...} \cdot {n-1} \cdot {n+1} $
Significa che saranno presenti una sola volta nel prodotto e avranno quindi potenza 1 soltanto i numeri 1, 2, n+1 in quanto trovati o solo antecedenti di un numero da 2 a n (parlo dei numeri 1 e 2), oppure solo successivi di un numero da 2 a n ( parlo del numero n+1).Tutti gli altri fattori del prodotto saranno elevati al quadrato, perchè trovati sia come successivi di un numero da 1 a n ma anche come antecedenti di un altro numero da 1 a n.
Il prodotto totale potrà quindi scriversi come:
$ (n+1)1\cdot {2} (3^2\cdot {4^2}\cdot {...} \cdot {(n-1)^2}) = 2(n+1)(3 \cdot {4} \cdot {...} \cdot {n-1))^2 = 2(n+1)[\frac {(n-1)!}{2}]^2 = \frac {(n+1)[(n-1)!]^2}{2}. $ Per quale motivo voi indicate una formula diversa?

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 14 dic 2009, 23:18

Non sviluppare la produttoria in quel modo, dato che non sai a priori "quanto fa" $ n^2 - 1 $. Se vedi ogni fattore come differenza di quadrati, si fattorizza

$ (2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)...(n-1)(n+1) $
cioè $ [1\cdot2\cdot3...\cdot(n-1)][3\cdot4\cdot5...\cdot(n+1)] $,

in cui ti ho separato con le quadre prima i termini con il -, poi quelli con il +. Così si vede che è $ (n-1)!\displaystyle\frac{(n+1)!}{2} = [(n-1)!]^2\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} $.
Perché quest'ultima espressione sia un Q.P., essendo $ [(n-1)!]^2 $, ovviamente, un Q.P., deve esserlo anche $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} $. E qua guarda la mia dimostrazione sopra.
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Willy67
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Messaggio da Willy67 » 15 dic 2009, 16:20

Scusa Gauss se sono un po' lento ma non comprendo la dimostrazione.
Si arriva al punto di avere $ 2h^2(2h^2+1)=2h^2(2n+1)^2 $ poi tu aggiungi anche $ =2H^2 $. Che significa? O.O Capisco come arrivi all'equazione sopradetta ma non comprendo la dimostrazione della tesi. Grazie in anticipo :roll:

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 15 dic 2009, 17:45

Dunque, il $ 2H^2 $ è messo lì per far capire meglio che $ 2h^2(2n+1)^2 $ è il doppio di un quadrato perfetto (ovviamente).
Il concetto della dimostrazione è molto comune: io dico che se un certo $ n $ soddisfa quella equazione, cioè $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} = k^2 $, allora anche $ 4n(n+1) $ la soddisfa. Perciò, ci sono infinite soluzioni.
Forse con un esempio numerico ti si chiariscono le idee: $ n=8 $ soddisfa la condizione richiesta. E' infatti $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle\frac{8\cdot9}{2} = 36 = 6^2 $.
Per la mia dimostrazione, ci aspettiamo che anche $ 4n(n+1) = 4\cdot8\cdot9 = 288 $ soddisfi l'equazione originaria (cioè $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} = k^2 $ per qualche $ k $). Infatti, verificando, si ha $ \displaystyle\frac{288\cdot289}{2} = 41616 = 204^2 $.
Quindi (e se vuoi, verificalo con la calcolatrice) anche $ 4\cdot288\cdot289 = 332928 $ la soddisfa, e anche $ 4\cdot332928\cdot332929 = 443365544448 $, e così via all'infinito.
Nota che così non ho dato necessariamente TUTTI gli $ n $ che soddisfano la condizione che $ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} $ sia un quadrato perfetto, ma ho dimostrato che ce ne sono infiniti (come richiedeva il problema). Prova a rivedere la mia dimostrazione alla luce di ciò che ho scritto. Così ti è più chiaro?
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Willy67
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Messaggio da Willy67 » 15 dic 2009, 21:44

Dunque... se esiste un n che verifichi l'equazione $ n(n+1)=2k^2 $ allora questo n soddisfa anche l'equazione $ 4n(n+1) = 8k^2 $... ma tu mi dici che se è soluzione n allora anche 4n(n+1) è una soluzione, per cui possiamo scrivere $ 4n(n+1)[4n(n+1)+1] = 2k^2 $. Ora dimostrare che anche $ 4n(n+1) $ è una soluzione significa che svolgendo i prodotti si deve ottenere l'equazione di partenza...Ma non mi sembra esca :?

Willy67
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Messaggio da Willy67 » 15 dic 2009, 21:46

o sbaglio?

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