"Convergenza" di somme di cubi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Zok
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"Convergenza" di somme di cubi

Messaggio da Zok » 06 dic 2009, 10:00

Sull'ultimo numero de "Le Scienze", Odifreddi in un articolo di numerologia ha citato questi due fatti, a voi il piacere di mostrarli...

a) Quanti e quali sono i numeri naturali $ \displaystyle n \geq 2 $ che sono uguali alla somma dei cubi delle loro cifre?

b) Preso un qualsiasi multiplo di 3, prendiamo la somma dei cubi delle sue cifre e poi la somma dei cubi delle cifre di tale somma e così via, iterativamente.
Mostrare che si arriva in un numero finito di passi sempre ad un unico numero, che ovviamente è tra quelli trovati al punto precedente (e perciò da quel punto in poi la successione è costante).

Per chi volesse un hint per il punto b, leggetevi l'articolo sopracitato visto che il limite a cui converge la successione così costruita è proprio il protagonista dell'articolo di Odifreddi! :)

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 19 gen 2010, 23:10

riportiamo in vita

a) si vede che se il numero ha n cifre
$ $\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k=\sum_{k=0}^na_k^3 $
con le ben ovvie limitazioni
$ $10^{n-1}\leq\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k<10^n \qquad \sum_{k=1}^na_k^3\leq 9^3n $
ergo $ 9^3n>10^{n-1} $ ovvero $ ~n<5 $
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Re: "Convergenza" di somme di cubi

Messaggio da kn » 15 giu 2010, 15:01

Zok ha scritto:b) Preso un qualsiasi multiplo di 3, prendiamo la somma dei cubi delle sue cifre e poi la somma dei cubi delle cifre di tale somma e così via, iterativamente.
Mostrare che si arriva in un numero finito di passi sempre ad un unico numero, che ovviamente è tra quelli trovati al punto precedente (e perciò da quel punto in poi la successione è costante).
Un aiutino? :cry:
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Messaggio da <enigma> » 15 giu 2010, 19:12

Uhm questo l'ho già visto :D ... chi è interessato cerchi "numero narcisista", o meglio "narcissistic number", su Goooooogle. :lol:

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Messaggio da <enigma> » 15 giu 2010, 19:59

Mostriamo innanzitutto che $ a_{k+1}<a_k>729k $ implica $ k \geq 4 $; per $ k \leq 3 $ vediamo ora, poiché se $ k \geq 4 $ possiamo sempre ricondurci ad un caso con $ k \leq 3 $. Sia $ 100a+10b+c $ il numero cercato: chiaramente $ 3|a+b+c $. Ora, per il criterio di divisibilità per 3, e poiché se $ 3|a+b+c $ allora $ 3|a^3+b^3+c^3 $, dopo l'operazione "sommare i cubi delle cifre" il resto modulo 3 rimane lo stesso. Inoltre, non è detto che il numero risultante sia minore del precedente. Infatti, se prendiamo 999, abbiamo che dopo l'applicazione dell'operazione questo diventa uguale a 2187. Se non altro, non è riduttivo considerare numeri minori di 1000 (abbiamo solo un numero finito di casi :lol: ).

DAMN perché questa m**** mi cancella mezzo post?

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Messaggio da <enigma> » 15 giu 2010, 20:02

Posto il pezzo mancante, nella speranza che qualcuno possa illuminare l'arcano:

Mostriamo innanzitutto che $ a_{k+1}<a_k $ definitivamente. Infatti il peggio che può capitare è un numero fatto da k cifre tutte uguali a 9, nel qual caso si ha $ a_n=10^k-1 $ e $ a_{n+1}=729k $. E qui ci sarebbe il resto...

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Messaggio da kn » 15 giu 2010, 21:02

Quando posti spunta la casella Disabilita HTML nel messaggio :wink:
Chi ci svela il motivo profondo per cui tutti i multipli di 3 finiscono in 153?
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Messaggio da dario2994 » 15 giu 2010, 21:23

Uhm... io lo dico, non l'ho provato, ma essendo equivalente alla tesi è sicuro vero:
Secondo me dei numeri di cui parla a) (che sono finiti e minori di 10000 e quindi un pc non si fa problemi a trovarli) solamente uno è divisibile per 3...
Da questo la tesi è ovvia.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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Messaggio da <enigma> » 15 giu 2010, 21:26

Grazie mille per il consiglio! Ora, visto che possiamo considerare solo numeri di tre cifre o meno, si dovrebbe dimostrare che ad un certo punto questi finiscono su un numero da cui non si può più proseguire perché continuando ad applicare l'operazione si riottiene sempre quel numero. Se posso dare un'idea, prendendo l'insieme di numeri minori o uguali a 2187 ($ 2187=f(999) $, $ 2188=f(1999) $ ma non è multiplo di 3), bisognerebbe dimostrare che prima o poi si finisce su quel numero. Poiché oò resto mod 3 non cambia, la somma di cubi delle cifre di un numero di tre cifre è sempre divisibile per 3. Questo vuol dire che la somma delle cifre del numero fatto dalla somma delle cifre di un certo numero mantiene lo stesso resto mod 3. Devo pensarci un attimo...

Addendum: prima di tutto poniamoci una domanda: esistono altri numeri che sono la somma delle loro cifre e per cui il ciclo termina? Risposta: sì, di tre cifre oltre a 153 ci sono 370, 371, 407, ma nessuno di essi è multiplo di3. Problema risolto.

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Messaggio da <enigma> » 15 giu 2010, 21:28

dario2994 ha scritto:Uhm... io lo dico, non l'ho provato, ma essendo equivalente alla tesi è sicuro vero:
Secondo me dei numeri di cui parla a) (che sono finiti e minori di 10000 e quindi un pc non si fa problemi a trovarli) solamente uno è divisibile per 3...
Da questo la tesi è ovvia.
Perché la tesi è ovvia :?: Intendi per ispezione diretta su tutti i numeri di tre cifre e multipli di 3? (che tra parentesi sembra l'unica strada praticabile visto che non son poi così tanti...)

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 15 giu 2010, 21:50

Beh l'idea è... sicuramente iterando la questione prima o poi arrivo ad un numero divisibile per 3 minore di 10000... da li mi controllo dove va a finire e noto che va incredibilmente a finire sempre in 153... ovviamente ciò lo fa un pc non io xD
Non è bello... ma per un problema del genere (a mio parere brutto) può andar bene xD
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Messaggio da kn » 16 giu 2010, 00:43

kn ha scritto:Chi ci svela il motivo profondo per cui tutti i multipli di 3 finiscono in 153?
:evil:
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Messaggio da <enigma> » 16 giu 2010, 13:26

kn ha scritto:
kn ha scritto:Chi ci svela il motivo profondo per cui tutti i multipli di 3 finiscono in 153?
:evil:
LOL :lol:

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