x+y divide x^2+y^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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x+y divide x^2+y^2

Messaggio da jordan » 02 dic 2009, 02:48

Siano x,y, due interi non nulli tali che z:=(x²+y²)/(x+y) è intero. Mostrare che se z|2009 allora x=y.

(Da un vecchio tst tedesco, ma ricordo di averlo visto anche in una olimpiade giapponese, e riproposto ancora in un file dello stage di Parma..)
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Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 02 dic 2009, 22:44

Riarrangiando, si ha $ x^2 - zx - zy + y^2 = 0 $(*). Risolvendola, per esempio, per $ x $, si ha $ x_{1,2}=\displaystyle\frac{z}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{z^2}{4} + zy -y^2} $. Siccome l'equazione * ha effettivamente soluzioni, dovrà essere $ \displaystyle-\frac{z^2}{4} - zy + y^2 \le 0 $, da cui $ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $, che sostituito nell'espressione di $ x $ dà $ x = z $, dato che l'altra soluzione $ x=0 $ non è accettabile per ipotesi. Si ha dunque la tesi.
Ultima modifica di Gauss91 il 03 dic 2009, 23:05, modificato 1 volta in totale.
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danielf
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Messaggio da danielf » 03 dic 2009, 17:01

[quote="Gauss91"]Riarrangiando, si ha $ x^2 - zx - zy - y^2 = 0 $(*). quote]

ovvero?

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 03 dic 2009, 17:31

Dalla definizione di partenza: $ z=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y} $.
O c'è qualcosa che non va? :roll:
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geda
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Messaggio da geda » 03 dic 2009, 20:08

Gauss91 ha scritto:Dalla definizione di partenza: $ z=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y} $.
O c'è qualcosa che non va? :roll:
Se non sono completamente fuso dovresti avere

$ x^2-zx-zy+y^2=0 $, c'e' il $ ...+y^2 $

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 03 dic 2009, 22:28

Gauss91 ha scritto:$ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $
probabilmente mi sono perso qualcosa io, ma non capisco la sequenza logica di questi passaggi....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 03 dic 2009, 23:04

Io sì! E capisco adesso che sono sbagliati: mi sono misteriosamente dimenticato dei valori razionali del coefficiente di z/2, ho preso solo quelli interi... mea culpa! Comunque, per il - al posto del +, è un errore di scrittura (infatti poi la soluzione dell'equazione è corretta). Adesso modifico.
:D :oops:
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