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come faccio a dimostrare che il prodotto di tre 3 numeri consecutivi non è mai un quadrato/cubo?

Mai un quadrato: siano $ n-1,n,n+1 $ i tre numeri consecutivi con $ n>1 $. Il loro prodotto e' $ n(n^2-1) $. Poiche' $ GCD(n, n^2-1)=1 $, sia $ n $ che $ (n^2-1) $ devono essere quadrati perfetti. Ma $ n^2-1 $ non e' mai un quadrato perfetto perche' strettamente compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi: $ (n-1)^2<n^2-1<n^2 $.

Mai un cubo: prova tu

[mod: non devo fare errori stupidi a Febbraio]
Non essendo specificato se i numeri devono essere interi, interi non negativi o interi positivi, ricordiamo che le seguenti terne negano la tesi: $ (-2;-1;0), (-1;0;1), (0;1;2) $
[/mod]

geda ha scritto:Mai un quadrato: siano $ n-1,n,n+1 $ i tre numeri consecutivi con $ n>1 $. Il loro prodotto e' $ n(n^2-1) $. Poiche' $ GCD(n, n^2-1)=1 $, sia $ n $ che $ (n^2-1) $ devono essere quadrati perfetti. Ma $ n^2-1 $ non e' mai un quadrato perfetto perche' strettamente compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi: $ (n-1)^2<n^2-1<n^2 $.

Mai un cubo: prova tu

Come mai hai preso $ n-1,n,n+1 $ e non $ n,n+1,n+2 $?

Claudio. ha scritto: Come mai hai preso $ n-1,n,n+1 $ e non $ n,n+1,n+2 $?

Perche' cosi' il prodotto di due di questi numeri fa $ n^2-1 $, per il quale e' facile dimostrare che non puo' essere un quadrato perfetto (... usando la famosa tecnica di individuare questo numero tra i quadrati di due numeri consecutivi...)

Mah, si può anche fare con n, n+1, n+2 ... in fondo è la stessa cosa, no?
Dunque, di tre numeri consecutivi, il primo può essere pari (e allora il secondo sarà dispari e il terzo pari) oppure dispari (e allora il secondo sarà pari e il terzo dispari).

Dunque, nel primo caso, n e n+2 hanno un fattore (il due) comune. Del resto, vediamo che il 2 è l'unico fattore che può essere comune a due di questi numeri: due numeri divisibili per k hanno differenza almeno k, se sono diversi, ma tra tre numeri consecutivi la differenza massima è 2.

Quindi, in ogni caso, il prodotto n(n+2) e il terzo numero n+1 non hanno fattori comuni. Se dunque il loro prodotto n(n+1)(n+2) è un quadrato, entrambi devono essere quadrati; infatti un fattore primo sta solo da una parte (o in n(n+2) o in n+1) quindi da quella parte deve avere esponente pari.

Dunque n(n+2) e n+1 devono essere entrambi quadrati:
n+1=m^2
n(n+2)=h^2
del resto, n(n+2)=n^2+2n e dunque n(n+2) sta tra n^2 e n^2+2n+1 (e non coincide con nessuno dei due). Quindi non può essere un quadrato, perché sta tra n^2 e (n+1)^2 e non è nessuno dei due.

Così la preferisci ?

Grazie

Quel metodo per il numero "incastrato" tra 2 quadrati funzionerebbe anche per la seconda parte?

va beh certamente se dimostri che un numero è compreso tra i cubi di due numeri consecutivi, hai dimostrato che quello non è un cubo....