Divisore comune dispari

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mantis
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Divisore comune dispari

Messaggio da mantis » 27 nov 2009, 18:42

La somma di cinque numeri interi $ a, b, c, d, e $ e la somma dei loro quadrati hanno come comune divisore un numero dispari $ n $.
Dimostrare che anche il numero $ a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 - 5abcde $ è divisibile per $ n $.

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jordan
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Re: Divisore comune dispari

Messaggio da jordan » 28 gen 2011, 19:23

Dato che $ \text{gcd}\left(\displaystyle \sum_{cyc}{a}, \sum_{cyc}{a^2}\right):=n\in 2\mathbb{Z}+1 $ allora anche $ n\mid \frac{\displaystyle \left(\sum_{cyc}{a}\right)^2-\sum_{cyc}{a^2}}{2}=\sum_{sym}{ab} $.

La tesi è quindi vera poichè $ \displaystyle \sum_{cyc}{a^5}-5abcde=\left(\sum_{cyc}{a}\right)\left(\sum_{cyc}{a^4}\right)-\left(\sum_{sym}{ab}\right)\left(\sum_{cyc}{a^3}\right)+\left(\sum_{sym}{abc}\right)\left(\sum_{cyc}{a^2}\right)-\left(\sum_{sym}{abcd}\right)\left(\sum_{cyc}{a}\right) $ è somma di interi multipli di $ n $. []

Ps. Seppur con notazione non decisamente corretta, con $ \sum_{sym} $ si indica la sommatoria "senza ripetizioni", e.g. $ \sum_{sym}{abc}=abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde $.
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