la somma è sempre in P

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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la somma è sempre in P

Messaggio da jordan » 25 nov 2009, 04:26

a) Esistono 4 interi positivi distinti tali che la somma di 3 qualsiasi di essi sia sempre un numero primo?
b) Esistono 5 interi positivi distinti tali che la somma di 3 qualsiasi di essi sia sempre un numero primo?
(Indonesia TST 2009)
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geda
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Messaggio da geda » 25 nov 2009, 13:57

Se non mi sbaglio....

a) Si: $ (1,5,7,11) $

b) No. Basta considerare i 5 numeri $ \pmod{3} $; per il PHP ce ne sono sempre almeno 3 la cui somma e' $ \equiv 0\, \pmod{3} $.

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jordan
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Messaggio da jordan » 25 nov 2009, 14:06

Si, guardate che razza di problemi danno in Indonesia :lol:
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geda
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Messaggio da geda » 25 nov 2009, 14:11

Gia'.. :shock:

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 nov 2009, 14:30

geda ha scritto:Se non mi sbaglio....

a) Si: $ (1,5,7,11) $

b) No. Basta considerare i 5 numeri $ \pmod{3} $; per il PHP ce ne sono sempre almeno 3 la cui somma e' $ \equiv 0\, \pmod{3} $.
Scusate l'ignoranza... :lol:

a) come fai a trovarli?

b) Cosa significa PHP? il concetto l'ho capito ma la terminologia no...

geda
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Messaggio da geda » 25 nov 2009, 15:08

Si, effettivamente sono stato troppo sintetico.

a) Li ho trovati con qualche tentativo manuale (per l'esistenza era necessario trovare solo una quaterna)

b) PHP e' il buon vecchio Pigeonhole Principle usato in combinatoria, altrimenti detto Dirichlet's box principle, http://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

Ciao

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 25 nov 2009, 15:12

Ok grazie!

Ma questa è l'unica quaterna o ne esistono altre?

geda
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Messaggio da geda » 26 nov 2009, 10:05

Dani92 ha scritto: Ma questa è l'unica quaterna o ne esistono altre?

Onestamente, non so se esiste una risposta a questo problema (esiste un numero finito di quaterne? Se si, quali sono? Oppure ne esistono infinite?) Tuttavia mi sembra una questione molto interessante sui cui riflettere, magari si riesce a tirare fuori qualche dimostrazione bellina.... :roll:

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 26 nov 2009, 22:39

Per esistere esistono altre quadruple... per esempio (1,3,7,9).
Inoltre congetturo ne esistano infinite... e si riconduce a dimostrare l'infinità della quadrupla $ $(a,b,c,d)\in\mathbb{P}^4 $ tale che:
$ $a>b>c>d $
$ $2a<b+c+d $
$ 3|a+b+c+d $
Che a pensarci è quasi ovvio... a dimostrarlo non ci sono riuscito xD
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