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Elementary Mihailescu

Inviato: 13 nov 2009, 16:54
da jordan
Trovare tutti gli $ (x,y,p,q) \in \mathbb{N}_0^4 $ tali che $ x^p-y^q=1 $ e $ y \mid x-1 $.

Ps. Uccidiamo questo :lol:

Inviato: 24 nov 2009, 19:01
da travelsga
proviamo...
Sia $ r $ un divisore primo di $ p $, faccio nel testo la sostituzione $ x:=x^{\frac{p}{r}}=X $ semplificando l'equazione in $ X^r-y^q=1\Rightarrow X^r-1=y^q $.
Osservo che $ LHS=(X-1)\Phi_r(X) $ e considero un primo s che divide $ \Phi_r(X) $; ho che $ s|\Phi_r(X)|y^q\Rightarrow s|y $, ma allora $ s|y|x-1\Rightarrow x\equiv 1\pmod s\Rightarrow\Phi_r(X)\equiv\Phi_r(1)\equiv r\pmod s $ da cui si conclude $ s=r $ ed anche $ \omega(\Phi_r(X))=1 $;
inoltre, essendo $ x=1+ar $,necessariamente risulta $ \displaystyle\Phi_r(X)\equiv\sum_{j=0}^{r-1}{(1+ar)^j}\equiv\sum_{j=0}^{r-1}{1+jar}\equiv r+ar\frac{(r-1)r}{2}\equiv r\pmod{r^2} $.
Pertanto se $ r>2 $ deve essere $ r||\Phi_r(X)\Rightarrow \Phi_r(X)=r<x-1<\Phi_r(X)\forall X\in\mathbb N $, ma ciò è assurdo.
Resta il caso $ r=2 $, ossia $ X^2-1=y^q $.
Innanzi tutto noto che $ q $ deve essere dispari, altrimenti si avrebbe $ \displaystyle (y^{\frac{q}{2}})^2<y^q+1<(y^{\frac{q}{2}}+1)^2 $ che porta ad un assurdo.
Considero quindi un primo $ t $ che divide $ X+1 $, allora si avrà $ t|X+1|y^q\Rightarrow t|y|x-1\Rightarrow t|(x+1,x-1) $, l'unica possibilità è dunque $ t=2 $ da cui $ x+1=2^b $ ,
$ x-1=2^b-2 $, sostituisco, ricordando che y è pari (infatti 2 divide LHS), $ y^q=2^{b+1}z^q $
$ 2^{b+1}(2^{b-1}-1)=2^{b+1}z^q\Rightarrow 2^{b-1}=(z+1)(z^{q-1}-\cdots+1) $
Infine osservo che il secondo termine è sempre dispari qualunque sia la parità di z in quanto q è dispari;
posso finalmente porre $ z^{q-1}-\cdots+1=1 $ da cui z=0,1 che porta alle soluzioni rispettivamente, invertendo i passaggi (sempre che siano corretti),
alle uniche soluzioni dell'equazione $ (x,y,p,q)=(1,0,p,q) $ , $ (3,2,2,3) $.
Sicuramente ci sarà qualcosa di sbagliato...