Sulla somma di lcm(1,2,...,n)^{-1}

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Sulla somma di lcm(1,2,...,n)^{-1}

Messaggio da jordan » 22 ott 2009, 00:11

Mostrare che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $ converge a un numero irrazionale. :D
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kn
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Bello!

Messaggio da kn » 19 feb 2010, 17:52

La somma converge in quanto $ \displaystyle~1\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}\le 1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\text{lcm}(n-1,n)} $$ \displaystyle~=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-1)n}=1+\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=2 $.
Chiamiamo ora $ \displaystyle~q_i $ l'i-esimo primo e supponiamo ora per assurdo che la somma sia pari a $ \displaystyle~\frac{a}{b},~a,b\in\mathbb{N}_0 $. Consideriamo il più piccolo $ \displaystyle~x $ tale che $ \displaystyle~q_x>b $. Allora
$ \displaystyle~\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{n=1}^{q_x-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}+\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $
Essendo il primo membro intero per ipotesi di assurdo e la prima somma a secondo membro intera, pure la seconda somma lo deve essere, ma
$ \displaystyle~\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $$ \displaystyle~<\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{1}{q_xq_{x+1}\cdots q_i}\le\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i} $ (il minore stretto si può giustificare dicendo che c'è almeno una potenza di 2 tra $ \displaystyle~q_i $ e $ \displaystyle~q_{i+1} $), assurdo perché $ \displaystyle~\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i}=\sum_{i=x}^\infty\left(\frac{1}{q_x\cdots q_{i-1}}-\frac{1}{q_x\cdots q_i}\right) $ è una somma telescopica che vale 1.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

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jordan
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Messaggio da jordan » 24 feb 2010, 05:37

Molto bene :wink:
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