Limite inferiore alla funzione pigreco

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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johntiror
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Limite inferiore alla funzione pigreco

Messaggio da johntiror » 18 ott 2009, 12:46

Ciao a tutti!! Sono uno studente al terzo anno di mate all'università e stavo un po' studiando teoria dei numeri per conto mio. Sarei curioso di sapere se esiste una funzione che da un limite inferiore certo alla funzione pigreco (la funzione che dato n da come risultato il numero di numeri primi minori di n). So già che n/log(n) lo approssima, conosco già il logaritmo integrale... Vorrei sapere se esiste un teorema (dimostrato ovviamente) che dato n mi dia una stima strettamente inferiore a pigreco(n). Ad esempio ragionando un secondo ho pensato che: dato che tra n e 2n c'è sempre almeno un primo, dato n ci sono almeno log(n)/log(2) numeri primi minori di n (ma ovviamente al crescere di n è un numero piccolissimo che non è molto interessante...). Mi sapreste dire qualcosa?
grazie mille!
Ciao!

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 ott 2009, 12:53

Quello non è ragionare un secondo: tra n e 2n c'è sempre un primo, è il postulato di bertrand, anzi ce ne sono definitivamente sempre due, ma la stima puntuale in ogni punto è ben diversa dalla stima asintotica, e in ogni caso dimostrare il teorema dei numeri primi non è un passeggiata in senso lato. E comunque questo ragionamento ti darebbe un lower bound molto debole.. :roll: Quello che può interessarti sono le disuguaglianza di Chebyschev, comunque vedi qui ad esempio il corollario 3.1 :o
(Per chi non vuole aprire il link: esistono due costanti 0<a<1<b fissate tali che $ ax(ln(x))^{-1}\le \pi(x) \le bx(ln(x))^{-1} $..)
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johntiror
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Messaggio da johntiror » 18 ott 2009, 14:39

Lo so che è il postulato di bertrand...e conosco pure la dimostrazione e sono anche consapevole che è molto debole il mio ragionamento, è per quello che chiedevo aiuto...

Tu conosci un lower bound più forte? Conoscevo già la diseguaglianza che mi hai detto, però sbaglio o non si conosce il valore di a?

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 ott 2009, 14:42

Ti ho già risposto alla domanda :?
Al link c'è anche un bound per a..
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johntiror
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Messaggio da johntiror » 18 ott 2009, 16:02

grazie mille!! Davvero molto interessante la pagina che mi hai linkato! Grazie ancora, me la studierò per bene! Immagino che non esista nessuna funzione lower bound più forte che con a=2/9, o sbaglio?

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jordan
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Messaggio da jordan » 18 ott 2009, 20:20

Dipende da quanto la vuoi elementare la dimostrazione.. :D
Prova a cercarti sul web i lavori (e relative generalizzazioni con metodi prettamente elementari) dei risultati di Chebyschev :wink:
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Spider
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Messaggio da Spider » 19 ott 2009, 15:52

Segnalo http://mathworld.wolfram.com/RossersTheorem.html ma personalmente non proverei a cercare la dimostrazione :P

johntiror
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Messaggio da johntiror » 19 ott 2009, 16:06

Diciamo che in questo momento mi basterebbe conoscere l'enunciato e posso anche rinunciare a conoscere la dimostrazione. Interessante il link, grazie!

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