3 come ultima cifra
3 come ultima cifra
Sia $ n $ un intero positivo, e sia $ S_n $ l'insieme di tutti i divisori interi positivi di $ n $ (inclusi $ 1 $ e $ n $). Dimostrare che al massimo meta' degli elementi di $ S_n $ e' composta da numeri che hanno come ultima cifra $ 3 $.
Siano $ d_1<d_2<\cdots<d_k $ i divisori di $ n $ che hanno $ 3 $ per ultima cifra ovvero $ d_i\equiv 3\pmod{10}\forall 1\le i\le k $.
Definisco adesso $ \displaystyle c_i=\frac{n}{d_i} $ , chiaramente si ha $ c_k<c_{k-1}<\cdots<c_1 $.
Se $ c_i\not\equiv 3\pmod{10} $ per ogni $ 1\le i\le k $ allora $ \tau(n)\ge 2k $ e pertanto siamo a posto.
Se esiste $ c_i $ tale che $ c_i\equiv 3\pmod{10}\Riaghtarrow n\equiv d_ic_i\equiv 9\pmod{10} $, dunque $ d_jc_j\equiv 3c_j\equiv 9\pmod{10}\Rightarrow c_j\equiv 3\pmod{10} $$ \forall 1\le j\le k $, ciò equivale a dire $ c_i=d_{k-i+1} $,
ma allora gli elementi del tipo $ d_id_j $ con $ j\le k-i+1 $
sono divisori di $ n $ e terminano con la cifra $ 9 $. In particolare $ 1,d_1d_2,\cdots,d_1d_k $ sono $ k $ divisori di $ n $ distinti dai $ d_i $ ; in conclusione $ \tau(n)\ge k+k=2k $
Definisco adesso $ \displaystyle c_i=\frac{n}{d_i} $ , chiaramente si ha $ c_k<c_{k-1}<\cdots<c_1 $.
Se $ c_i\not\equiv 3\pmod{10} $ per ogni $ 1\le i\le k $ allora $ \tau(n)\ge 2k $ e pertanto siamo a posto.
Se esiste $ c_i $ tale che $ c_i\equiv 3\pmod{10}\Riaghtarrow n\equiv d_ic_i\equiv 9\pmod{10} $, dunque $ d_jc_j\equiv 3c_j\equiv 9\pmod{10}\Rightarrow c_j\equiv 3\pmod{10} $$ \forall 1\le j\le k $, ciò equivale a dire $ c_i=d_{k-i+1} $,
ma allora gli elementi del tipo $ d_id_j $ con $ j\le k-i+1 $
sono divisori di $ n $ e terminano con la cifra $ 9 $. In particolare $ 1,d_1d_2,\cdots,d_1d_k $ sono $ k $ divisori di $ n $ distinti dai $ d_i $ ; in conclusione $ \tau(n)\ge k+k=2k $