Prodotto delle cifre di x = x^2-10x-22

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fede90
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Prodotto delle cifre di x = x^2-10x-22

Messaggio da fede90 » 26 set 2009, 11:49

Per evitare di far toccare il fondo a questo forum, posto un problema, dal momento che sembra sia diventata un'attività secondaria qua dentro...

Detto questo:

Trovare tutti i numeri interi $ $x$ $ tali che il prodotto delle cifre della rappresentazione decimale di $ $x$ $ è uguale a $ $x^2-10x-22$ $

Fonte: IMO 1968 - problema 2
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 26 set 2009, 13:05

in modo grossolano(diciamo pure molto grossolano) sono riuscito a escludere tutti gli $ x\ge 100 $ e poi tutti gli $ x\ge 20 $ e a questo punto il problema diventa banale. Dopo pranzo posto tutto il procedimento anche se probabilmente ho sbagliato perchè per essere un IMO 2 mi sembra troppo semplice anche se è vecchio....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 26 set 2009, 14:30

ok ecco:
innanzitutto escludiamo che una delle cifre sia 0:in questo caso il prodotto è 0 e l'equazione non ha soluzioni intere.
Siano $ a_n,a_{n-1}...a_1,a_0 $ le cifre di x. Allora $ \displaystyle x=\sum_{i=0}^n 10^ia_i $. Riscriviamo quindi l'equazione come $ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2=10\sum_{i=0}^n 10^ia_i+22+a_na_{n-1}...a_1a_0 $.
Supponiamo ora $ n\ge 2 $:allora sviluppando x al quadrato si trova che
$ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2\ge\sum_{i=0}^n 10^{2i}a_i^2+2*10^{2n-1}a_na_{n-1}+2*10^na_na_0 $.Ricordando che nessuno degli a_i è nullo e che $ n\ge 2 $abbiamo che
1)$ \displaystyle\sum_{i=1}^n 10^{2i}a_i^2>10\sum_{i=1}^n 10^ia_i $
2)$ 2*10^{2n-1}a_na_{n-1}>10^{n+1}>9^{n+1}\ge a_na_{n-1}...a_1a_0 $
3)$ 2*10^na_na_0\ge200>10a_0+22 $
da cui l'assurdo.
Pertanto $ x<100 $
A questo punto senza troppe difficoltà si escludono i casi in cui x ha una sola cifra,quindi x=10a+b. Impostando l'equazione si escludono con qualche considerazione i casi in cui $ a\ge 2 $,quindi x=10+b.
Sostituendo si trova l'unica soluzione x=12.
Spero possa andare bene
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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jordan
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Messaggio da jordan » 26 set 2009, 20:26

Ja.. si può trovare scritto bene anche qui :wink:
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