2^x-1 divide 3^y-1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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gismondo
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Messaggio da gismondo » 23 set 2009, 20:50

Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 23 set 2009, 21:27

gismondo ha scritto:Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.
attento perchè ti confondi, tu hai solo detto in altro modo che dispari*k=pari implica k pari, ma non puoi trovare un assurdo da ciò. Dopo devi fare riferimento alla prima scrittura non alla seconda
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 23 set 2009, 22:32

Chiamiamo A la parte sinistra: A non è un numero intero.
Chiamiamo B la parte destra: B è un numero dispari.
(2k) * A = B
Implica che B sia pari, ma non lo è...
Dove sbaglio?
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 23 set 2009, 22:59

gismondo ha scritto:Chiamiamo A la parte sinistra: A non è un numero intero.
Chiamiamo B la parte destra: B è un numero dispari.
(2k) * A = B
Implica che B sia pari, ma non lo è...
Dove sbaglio?
intanto per fare chiarezza diciamo che A e B sono l'LHS e l'RHS della seconda scrittura. Il fatto è che 2k*A è pari solo se k è pari, infatti se sviluppi 2A trovi che è della forma 2m+1
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 23 set 2009, 23:12

Hai ragione tu, scusa se ti ho fatto perdere tempo...
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Messaggio da jordan » 23 set 2009, 23:40

karlosson_sul_tetto ha scritto:
L'inizio e la fine dei mali personali (jordan) ha scritto:Appunto!
Quindi io ho chiesto per imparare!
Sei davvero vuoi imparare non postare tutti questi messaggi inutili e casomai prova a farlo un esercizio :?
Ps. Ora addirittura personali :lol:
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 24 set 2009, 14:25

jordan ha scritto:Ps. Ora addirittura personali :lol:
Solo :D
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Messaggio da came14 » 24 set 2009, 19:30

Se $ 2^x-1 $ è primo e $ y=2^x-2 $ è una soluzione.
Infatti semplicemente per il teorema di Fermat $ 3^{2^x-2}\equiv 1 \pmod{2^x-1} $

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Messaggio da jordan » 24 set 2009, 20:37

y è dispari :roll:
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Messaggio da came14 » 24 set 2009, 21:26

ah proprio non l'avevo visto, chiedo scusa!

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Messaggio da jordan » 24 set 2009, 21:43

No problem, almeno la tua osservazione però era giusta (seppur dovevi imporre x>2) :wink:
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Messaggio da kn » 26 set 2009, 18:09

Ho una soluzione un po' brutta.. (sempre che sia giusta :roll: )
Vanno bene tutte le soluzioni $ \displaystyle~(1,y) $, perciò supponiamo $ \displaystyle~x>1 $: sia $ \displaystyle~p $ un primo che divide $ \displaystyle~2^x-1 $, allora $ \displaystyle~3^y\equiv 1\pmod p $. Se $ \displaystyle~g $ è il generatore modulo $ \displaystyle~p $ è $ \displaystyle~g^a\equiv 3\pmod p $ per qualche $ \displaystyle~a $. Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari e quindi $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico. Ma con la reciprocità quadratica si trova facilmente che $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico solo se $ \displaystyle~p\equiv \pm 1\pmod{12} $, da cui $ \displaystyle~2^x-1\equiv\pm 1\pmod{12} $. $ \displaystyle~2^x-1\equiv -1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~3\mid 2^x $, che non dà soluzioni. $ \displaystyle~2^x-1\equiv 1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~2^{x-1}\equiv 1\pmod 6 $, che dà $ \displaystyle~2^{x-1} $ dispari, falso se $ \displaystyle~x>1 $.. :cry:
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Messaggio da Reginald » 26 set 2009, 18:40

kn ha scritto:Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari
..Perchè? non potrebbe darsi che sia y ad essere pari?...spero di non aver scritto eresie perchè non sono molti pratico con i generatori...Comunque se non sbaglio $ 2^3-1|3^6-1 $..

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Messaggio da kn » 26 set 2009, 18:47

Per fortuna per una volta jordan è stato umano e ha messo nelle ipotesi x,y dispari :wink:
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Messaggio da jordan » 26 set 2009, 18:48

Reginald, nel testo è precisato che y è dispari :wink:
@Kn: e perchè la giudichi brutta? :o (D'altronde non vedo molte altre strade per risolverlo.. )
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