2^x-1 divide 3^y-1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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2^x-1 divide 3^y-1

Messaggio da jordan » 21 set 2009, 18:31

Trovare tutti gli interi positivi dispari x,y tali che $ 2^x-1 \mid 3^y-1 $ :P
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 set 2009, 20:42

Scusa la domanda ma sono di prima media :oops: :oops: :oops: :cosa intendi per "|"? :oops: :oops: :oops:
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Messaggio da Fedecart » 21 set 2009, 20:47

E' il simbolo di divide... vuol dire che $ 2^x-1 $ è un divisore di $ 3^y-1 $...
Si può scrivere analogamente $ k(2^x-1)=3^y-1 $ con k intero...

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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 set 2009, 20:48

Ah,grazie Fedecart!! :D :D

Finora:x=1;e y qualunque...
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Messaggio da jordan » 21 set 2009, 21:02

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp :? :? :?
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 set 2009, 21:05

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp :? :? :?
E perche?
Ultima modifica di karlosson_sul_tetto il 21 set 2009, 21:09, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da jordan » 21 set 2009, 21:09

@ i mod: non si potrebbe mettere una limitazione agli smile che si possono inserire in un messaggio? sullo stile di Mathlinks..
@ Karlosson: sono i messaggi privati che puoi inviare ad altri utenti. C'è la scritta mp sotto la firma di ogni post.
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 set 2009, 21:11

Scusa,sono un po tonto :oops: :oops: :oops:
L'ho capito solo qualche secondo fa... :oops: :oops: :oops:
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Messaggio da jordan » 22 set 2009, 21:44

karlosson_sul_tetto ha scritto:
Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp :? :? :?
E perche?
Karlosson, non mi piace per niente che editi i messaggi e non scrivi nulla! Il perchè è tra l'altro evidente, se ti guardi un po in giro: metà dei msg postati in questa sezione sono inutili, i tuoi in primis. :? :?
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 23 set 2009, 14:21

...











Scusa,ma questo forum non è stato anche per imparare? :? :?
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Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 23 set 2009, 15:17

Spero sia giusta...

Cerco di dimostrare che oltre a x=1 e y qualsiasi non ho altre soluzioni.
Per ogni x dispari ho $ 2^{x-1}\equiv1 \pmod6 $ e $ 3^{y-1}\equiv3 \pmod6 $ Quindi cerco dei numeri naturali a,b tali che $ 6a+1 \mid 6b+3 $ e se esistone delle a,b siffatte allora potrebbero esistere delle soluzioni poiche l'insieme delle soluzioni S dell'equazione iniziale é sottoinsieme dell'insieme W delle soluzioni della seconda equazione. Ma 6b+3 = 3(2b+1) e poiché 6a+1 non divide 3, tranne nel caso a=0 che implica x=1 (gia scritto sopra). Pertanto $ 6a+1 \mid 2b+1 $. Quindi $ k(6a+1)=2b+1 $ per qualche k. Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale. Sviluppo l'equazione che ora diventa:
$ (6n+2b+1)(6a+1)=2b+1 $
$ 36an+6n+12ab+2b+6a+1=2b+1 $
$ 6(6an+n+2ab+a)+(2b+1)=2b+1 $
Quindi, se semplifico da ambo le parti 2b+1 e divido per 6 ottengo:
$ 6an+n+2ab+a=0 $
$ n(6a+1)+a(2b+1)=0 $
Poiché a e b sono naturali ho necessariamente n=0 e a=0, quindi l'unica soluzione è:
$ 2^{x-1}=1 $ quindi x=1 e y qualunque.
CVD
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

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Reginald
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Messaggio da Reginald » 23 set 2009, 16:21

Giuseppe R ha scritto: Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.
...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1)...per esempio $ 5\equiv 13\pmod 2 $, ma 5 non è uguale a 2m+13 se m è naturale.....inoltre neanche le soluzioni che hai dato sono corrette: $ 2^3-1|(3^3+1)\implies 2^3-1|(3^3+1)(3^3-1) $..

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Messaggio da Giuseppe R » 23 set 2009, 17:06

Reginald ha scritto:
Giuseppe R ha scritto: Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.
...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1
Ma $ 6a+1 \equiv1 \pmod6 $
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
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Messaggio da jordan » 23 set 2009, 19:53

@Giuseppe, guarda la tua "dimostrazione": solo dalla relazione 6a+1|2b+1 vorresti dedurre una contraddizione. Ti pare possibile?
@Karlosson: Appunto!!
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 23 set 2009, 20:39

L'inizio e la fine dei mali personali (jordan) ha scritto:Appunto!
Quindi io ho chiesto per imparare!
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