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Feb 2005 (10)

Inviato: 06 set 2009, 12:16
da SARLANGA
Abbiamo a, b interi positivi primi fra loro. Qual è il massimo valore che può assumere il M.C.D. fra $ (a+b)^4 $ e $ a-b $?
Grazie in anticipo

Inviato: 06 set 2009, 14:59
da Davide90
Bè, sicuramente l'MCD deve essere $ \leq \text{min}\{(a+b)^4;(a-b)\} $, cioè $ \leq (a-b) $.
Ora, basta prendere un esempio a caso come $ (a,b)=(5:1)\longrightarrow 5-1=4|(5+1)^4=2^4\cdot3^4 $, e vedere che il valore massimo che può assumere l'MCD al variare di a,b è proprio $ (a-b) $.
Spero di non avere frainteso il testo...

Inviato: 06 set 2009, 15:17
da Pigkappa
A me la domanda sembra mal posta.

Se si chiede il massimo al variare di a e b, è chiaro che non esiste, perchè quel MCD può andare all'infinito.

Se sono fissati a e b, quell'MCD è fissato e quindi ha poco senso chiedersi qual è il suo massimo.

Inviato: 06 set 2009, 15:25
da SARLANGA
Pigkappa ha scritto:Se si chiede il massimo al variare di a e b, è chiaro che non esiste, perchè quel MCD può andare all'infinito.

Se sono fissati a e b, quell'MCD è fissato e quindi ha poco senso chiedersi qual è il suo massimo.
La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???

Inviato: 06 set 2009, 15:56
da Davide90
Scherzavo, la risposta è $ 16 $ . :oops:
$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $. Se poi $ a-b $ avesse un fattore diverso da 2 nella sua scomposizione, allora questo fattore che divide $ a-b $ dovrebbe anche dividere $ b^4 $, ma quindi divide $ b $ e dovrebbe anche dividere $ a $, assurdo per l'ipotesi che $ (a,b)=1 $ . (Esempio: $ a=19 , \ b=3 $ )

Inviato: 06 set 2009, 16:53
da SARLANGA
Davide90 ha scritto:$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $.
Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???
Grazie e complimenti

Inviato: 06 set 2009, 17:19
da Pigkappa
SARLANGA ha scritto:
Pigkappa ha scritto: La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???
Mi ero perso il "primi fra loro".
Comunque quando posti un problema cerca di essere chiaro. Non credo che il testo originale dicesse "abbiamo due interi positivi a e b", che non si capisce cosa vuol dire (io lo interpreterei come "fissati due interi positivi a e b"...).

Inviato: 06 set 2009, 18:05
da SARLANGA
Hai ragione, PigKappa....
Il testo iniziava con: Siano $ a $, $ b $ interi positivi primi tra loro. A tuo avviso questo significa che sono fissati?

Inviato: 06 set 2009, 18:10
da FeddyStra
No, non significa necessiamente che sono fissati: ti indica piuttosto il dominio a cui appartengono. Ulteriori precisazione vengono eventualmente apposte in seguito. PK intendeva che la frase "Abbiamo etc." è ambigua nel senso che può far pensare che i numeri ci vengano forniti da terzi e quindi siano fissi.

Inviato: 06 set 2009, 18:21
da Davide90
SARLANGA ha scritto:Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???
Grazie e complimenti
Sì, quello che ho scritto è un po' impreciso, facevo riferimento alla prima riga di quello che ho scritto nel primo post...
Poichè $ (a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\equiv (2b)^4 \pmod {a-b} $ , allora l' MCD tra $ a-b $ e $ (a+b)^4 $ divide anche il resto della divisione del secondo per il primo, cioè $ 16b^4 $ .
Dalla congruenza trovata si vede che $ a-b $ è pari, quindi a e b hanno la stessa parità, dunque sono dispari. Quindi il massimo esponente con cui il 2 compare nella scomposizione dell'MCD è 4, perchè in b non ci possono essere altri fattori 2.