Feb 2005 (10)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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SARLANGA
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Feb 2005 (10)

Messaggio da SARLANGA » 06 set 2009, 12:16

Abbiamo a, b interi positivi primi fra loro. Qual è il massimo valore che può assumere il M.C.D. fra $ (a+b)^4 $ e $ a-b $?
Grazie in anticipo

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 06 set 2009, 14:59

Bè, sicuramente l'MCD deve essere $ \leq \text{min}\{(a+b)^4;(a-b)\} $, cioè $ \leq (a-b) $.
Ora, basta prendere un esempio a caso come $ (a,b)=(5:1)\longrightarrow 5-1=4|(5+1)^4=2^4\cdot3^4 $, e vedere che il valore massimo che può assumere l'MCD al variare di a,b è proprio $ (a-b) $.
Spero di non avere frainteso il testo...
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 06 set 2009, 15:17

A me la domanda sembra mal posta.

Se si chiede il massimo al variare di a e b, è chiaro che non esiste, perchè quel MCD può andare all'infinito.

Se sono fissati a e b, quell'MCD è fissato e quindi ha poco senso chiedersi qual è il suo massimo.

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 06 set 2009, 15:25

Pigkappa ha scritto:Se si chiede il massimo al variare di a e b, è chiaro che non esiste, perchè quel MCD può andare all'infinito.

Se sono fissati a e b, quell'MCD è fissato e quindi ha poco senso chiedersi qual è il suo massimo.
La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 06 set 2009, 15:56

Scherzavo, la risposta è $ 16 $ . :oops:
$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $. Se poi $ a-b $ avesse un fattore diverso da 2 nella sua scomposizione, allora questo fattore che divide $ a-b $ dovrebbe anche dividere $ b^4 $, ma quindi divide $ b $ e dovrebbe anche dividere $ a $, assurdo per l'ipotesi che $ (a,b)=1 $ . (Esempio: $ a=19 , \ b=3 $ )
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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 06 set 2009, 16:53

Davide90 ha scritto:$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $.
Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???
Grazie e complimenti

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 06 set 2009, 17:19

SARLANGA ha scritto:
Pigkappa ha scritto: La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???
Mi ero perso il "primi fra loro".
Comunque quando posti un problema cerca di essere chiaro. Non credo che il testo originale dicesse "abbiamo due interi positivi a e b", che non si capisce cosa vuol dire (io lo interpreterei come "fissati due interi positivi a e b"...).

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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 06 set 2009, 18:05

Hai ragione, PigKappa....
Il testo iniziava con: Siano $ a $, $ b $ interi positivi primi tra loro. A tuo avviso questo significa che sono fissati?

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 06 set 2009, 18:10

No, non significa necessiamente che sono fissati: ti indica piuttosto il dominio a cui appartengono. Ulteriori precisazione vengono eventualmente apposte in seguito. PK intendeva che la frase "Abbiamo etc." è ambigua nel senso che può far pensare che i numeri ci vengano forniti da terzi e quindi siano fissi.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 06 set 2009, 18:21

SARLANGA ha scritto:Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???
Grazie e complimenti
Sì, quello che ho scritto è un po' impreciso, facevo riferimento alla prima riga di quello che ho scritto nel primo post...
Poichè $ (a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\equiv (2b)^4 \pmod {a-b} $ , allora l' MCD tra $ a-b $ e $ (a+b)^4 $ divide anche il resto della divisione del secondo per il primo, cioè $ 16b^4 $ .
Dalla congruenza trovata si vede che $ a-b $ è pari, quindi a e b hanno la stessa parità, dunque sono dispari. Quindi il massimo esponente con cui il 2 compare nella scomposizione dell'MCD è 4, perchè in b non ci possono essere altri fattori 2.
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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