OliForum Matematico

Sia $ s(x) $ la somma delle cifre di $ x \in \mathbb{N}_0 $.

Problema. Esiste un $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $?

Per riprendersi da un esame non troppo felice...

Prendiamo $ \displaystyle n=\sum_{i=1}^m10^{2^i} $. Allora $ \displaystyle n^2=\sum_{i=1}^m10^{2^{i+1}}+2\sum_{i<j}10^{2^i+2^j} $
Dato che $ 2^a+2^b\neq2^c+2^d $ per $ (a,b)\neq(c,d) $ eventualmente riordinate ogni termine della seconda sommatoria ha numero diverso di cifre. Così sommando i termini non ci sono problemi di riporti. Dato che non ci sono riporti possiamo calcolare $ s(n^2) $ sommando la somma delle cifre di ogni addendo.
Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $

eli9o ha scritto:Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $

Il nesso?

Non si capisce un'acca della "soluzione" o parli dell'esame?

Credo che intenda che $ $m^2\ge m $ con k=1, quindi hai solo fornito infiniti esempi del fatto che è possibile che esista.

un pirla ha scritto: Per riprendersi da un esame non troppo felice...

Si spiegano molte cose, finché faccio i problemi al contrario...

julio14 ha scritto:Credo che intenda che $ $m^2\ge m $ con k=1, quindi hai solo fornito infiniti esempi del fatto che è possibile che esista.

Allora non era solo una mia impressione...

A naso direi che $ k = 2 $ va bene, ma non ho idea di come dimostrarlo. Qualche hint?

Hint: non cercare di dimostrare qualcosa di falso

@ Jordan: non vuoi per caso che si trovi il minimo $ k $ tale che etc.? Trovarne uno che vada bene senza altre restrizioni non è molto difficile, mi pare.
EDIT: igniorate questo messaggio...

Il quesito infatti riguarda l'esistenza di un tale k.. te come l'hai risolto?

Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?

Certo. Ma ciò non significa che k=100 non sia accettabile

Richard ha scritto:Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?

149, 549, 1049, 1490, 3899, 4499, 4799, 4899, 5490, etc...

Per cui, adesso?