s(n)<ks(n^2),con s(.) somma delle cifre

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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s(n)<ks(n^2),con s(.) somma delle cifre

Messaggio da jordan » 31 ago 2009, 22:01

Sia $ s(x) $ la somma delle cifre di $ x \in \mathbb{N}_0 $.

Problema. Esiste un $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $?
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eli9o
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Messaggio da eli9o » 01 set 2009, 00:15

Per riprendersi da un esame non troppo felice...

Prendiamo $ \displaystyle n=\sum_{i=1}^m10^{2^i} $. Allora $ \displaystyle n^2=\sum_{i=1}^m10^{2^{i+1}}+2\sum_{i<j}10^{2^i+2^j} $
Dato che $ 2^a+2^b\neq2^c+2^d $ per $ (a,b)\neq(c,d) $ eventualmente riordinate ogni termine della seconda sommatoria ha numero diverso di cifre. Così sommando i termini non ci sono problemi di riporti. Dato che non ci sono riporti possiamo calcolare $ s(n^2) $ sommando la somma delle cifre di ogni addendo.
Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $
Ultima modifica di eli9o il 01 set 2009, 11:01, modificato 3 volte in totale.
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 01 set 2009, 00:30

eli9o ha scritto:Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $
:?: Il nesso? :roll:
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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eli9o
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Messaggio da eli9o » 01 set 2009, 00:31

Non si capisce un'acca della "soluzione" o parli dell'esame?
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Messaggio da julio14 » 01 set 2009, 00:33

Credo che intenda che $ $m^2\ge m $ con k=1, quindi hai solo fornito infiniti esempi del fatto che è possibile che esista.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Messaggio da eli9o » 01 set 2009, 00:38

:oops:
un pirla ha scritto: Per riprendersi da un esame non troppo felice...
Si spiegano molte cose, finché faccio i problemi al contrario... :roll:
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Messaggio da FeddyStra » 01 set 2009, 00:48

julio14 ha scritto:Credo che intenda che $ $m^2\ge m $ con k=1, quindi hai solo fornito infiniti esempi del fatto che è possibile che esista.
Allora non era solo una mia impressione...
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Richard
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Messaggio da Richard » 08 set 2009, 11:30

A naso direi che $ k = 2 $ va bene, ma non ho idea di come dimostrarlo. Qualche hint? :lol:

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jordan
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Messaggio da jordan » 08 set 2009, 16:38

Hint: non cercare di dimostrare qualcosa di falso :wink:
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Messaggio da FeddyStra » 08 set 2009, 19:49

@ Jordan: non vuoi per caso che si trovi il minimo $ k $ tale che etc.? Trovarne uno che vada bene senza altre restrizioni non è molto difficile, mi pare. :roll:
EDIT: igniorate questo messaggio...
Ultima modifica di FeddyStra il 09 set 2009, 14:29, modificato 1 volta in totale.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da jordan » 08 set 2009, 20:41

Il quesito infatti riguarda l'esistenza di un tale k.. te come l'hai risolto?
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Richard
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Messaggio da Richard » 09 set 2009, 12:22

Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?

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Messaggio da jordan » 09 set 2009, 12:55

Certo. Ma ciò non significa che k=100 non sia accettabile :o
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Messaggio da FeddyStra » 09 set 2009, 14:11

Richard ha scritto:Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?
149, 549, 1049, 1490, 3899, 4499, 4799, 4899, 5490, etc...
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Messaggio da jordan » 14 set 2009, 02:18

Per cui, adesso?
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