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Sia $ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $ una funzione iniettiva, e $ k $ un intero positivo. Se $ f^k $ indica la funzione ottenuta iterando $ k $ volte la funzione $ f $, mostrare che l'insieme degli $ y\in\mathbb{N} $, tali che $ y=f^k(x) $ non ha soluzione, se è finito, ha cardinalità multipla di $ k $.

ps: all'esame è stato dato con $ k=2 $.

per il caso k=2 si può dire che se nell'immagine della funzione non figurano $ a_1,a_2....a_n $, allora nell'immagine di f(f(x)) non vi sono nemmeno $ f(a_1),f(a_2).....f(a_n) $, che sono sicuramente tutti valori diversi dagli $ a_k $ perchè abbiamo detto che la funzione f è diversa per ogni x da questi valori poichè non li raggiunge mai. Per k generico si itera il procedimento con un'induzione

Wow, ha resistito quasi mezz'ora!

Va tutto bene. Buon senior

elio ma la tua soluzione era diversa? come mai l'hai postato?

eli9o ha scritto: Buon senior

grazie . Invece a te buona fortuna per il test sns!!!!!!

Grazie

L'ho messo perché le soluzioni dicevano che serviva una certa dimestichezza con la teoria degli insiemi o qualcosa del genere mentre a me sembrava il più facile. Boh

eli9o ha scritto:Sia $ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $ una funzione iniettiva, e $ k $ un intero positivo. Se $ f^k $ indica la funzione ottenuta iterando $ k $ volte la funzione $ f $, mostrare che l'insieme degli $ y\in\mathbb{N} $, tali che $ y=f^k(x) $ non ha soluzione, se è finito, ha cardinalità multipla di $ k $.

ps: all'esame è stato dato con $ k=2 $.

Wow, si va sul facile in galileiana (è dell'anno scorso no? ), addirittura k=2. L'idea di Maioc92 è ovviamente giusta, comunque non serve neanche invocare il principio di induzione Comunque buona fortuna a tutti per i test (e poi ricordatevi di postare i problemi )

È del 2006/2007, è comunque decisamente recente.

Li posteremo, sperando di sapere prima le soluzioni