k2^n+1 composto per ogni n

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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k2^n+1 composto per ogni n

Messaggio da jordan »

Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.
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exodd
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Messaggio da exodd »

dimostrare che esistono infiniti k con la proprietà sopra riportata
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
sprmnt21
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Re: k2^n+1 composto per ogni n

Messaggio da sprmnt21 »

jordan ha scritto:Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.
Propongo una dimostrazione dipendente dal tempo (che ci vorra a provare una certa congettura) :-).


Sia Fm il piu' grande primo di Fermat (*). Allora per k = Fm-1, N = k2^n+1 e' un numero composto per ogni n.


Posto n = 2^p(2q+1), si ha che k2^n+1 = 2^(2^m) * 2^[2^p(2q+1)] + 1
che si puo' scrivere:

per p<m, 2^[(2q+1+2^(m-p))2^p]+1; essendo 2q+1+2^(m-p) dispari per ogni q, N e' divisibile per 3;

per p>m, 2^[(2q+1+2^(p-m))2^m]+1; per la stessa ragione di sopra 3|N;

per p=m, 2^[(q+1)2^(m+1)]+1; se q e' pari, allora 3|N se

se q=2^r(2s+1)-1, N e' composto, per la (*) o 3|N.
piever
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Messaggio da piever »

Il più grande primo di Fermat??

È bizzarro che la gente si diverte a supporre congetture devastanti che rendono banali i problemi di jordan. In questo caso è forse più costruttivo considerare il più piccolo numero di Fermat composto... :wink:
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<enigma>
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Re: k2^n+1 composto per ogni n

Messaggio da <enigma> »

jordan ha scritto:Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.
Chuck Norris mi ha detto che $ n=78557 $ funge.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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