Disuguaglianza

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Giulius
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Disuguaglianza

Messaggio da Giulius » 06 lug 2009, 12:45

Dimostrare la seguente disuguaglianza:
$ \pi(n)\ge\pi(kn+n)-k\varphi(n) $
Per ogni $ (n,k) \in \mathbb{N}^2 $ con $ n>0 $, con $ \pi(n),\varphi(n) $ rispettivamente la funzione enumerativa dei primi e la funzione totiente di Eulero.
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Jacobi
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Re: Disuguaglianza

Messaggio da Jacobi » 07 lug 2009, 19:05

Giulius ha scritto:Dimostrare la seguente disuguaglianza:
$ \pi(n)\ge\pi(kn+n)-k\varphi(n) $
Per ogni $ (n,k) \in \mathbb{N}^2 $ con $ n>0 $, con $ \pi(n),\varphi(n) $ rispettivamente la funzione enumerativa dei primi e la funzione totiente di Eulero.
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credo ci sia un errore nell'argomento di $ \pi $nell'RHS
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Giulius
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Messaggio da Giulius » 07 lug 2009, 20:19

Nu è giusto :D ....
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 07 lug 2009, 20:21

credevo ci fosse un errore di battitura.. :cry: come punizione dovro risolvere il problema! :lol: nn oggi pero,ho gia superato il mio limite di problemi giornalieri :)
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kn
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Messaggio da kn » 08 lug 2009, 00:08

Jacobi ha scritto:nn oggi pero,ho gia superato il mio limite di problemi giornalieri :)
Perché no? Se la guardi bene è una disuguaglianza immediata! :P
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Pairo
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Messaggio da Pairo » 09 lug 2009, 09:04

Lemma:

$ \varphi(n)\geq\pi(hn+n)-\pi(hn) $

Infatti, se prendo un primo p compreso tra hn e hn+n, questo è congruo ad un numero coprimo con n modulo n minore di n. Se così non fosse dovrebbe essere

$ p = kn+a $ con a e k aventi almeno un fattore in comune: assurdo, perché p è primo.

Allora ad ogni primo corrisponde a questo modo uno dei numeri coprimi con n (è evidente che due primi tra hn+n e hn sono congrui a numeri coprimi diversi) e il numero di primi è allora al massimo uguale al numero di coprimi minori di n: il lemma è dimostrato. Riscrivendo la disuguaglianza come

$ k\varphi(n)\geq\pi(kn+n)-\pi(n) $

questa risulta immediatamente dimostrata per il lemma.

Giulius
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Messaggio da Giulius » 10 lug 2009, 21:25

Perfect :D
Pairo ha scritto:Se così non fosse dovrebbe essere

$ p = kn+a $ con a e k aventi almeno un fattore in comune: assurdo, perché p è primo.

Questa parte qui però non mi è chiara, forse intendevi p=hn+a con a e n aventi un fattore in comune, assurdo...
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Pairo
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Messaggio da Pairo » 11 lug 2009, 18:28

Sì, sì intendevo n invece di k :D

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