S=1/2+1/3+1/4+...+1/n

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ndp15
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S=1/2+1/3+1/4+...+1/n

Messaggio da ndp15 » 27 giu 2009, 13:29

Dimostrare che la somma $ S=1/2 + 1/3 + 1/4 +...+1/n $ non è mai un intero.

P.S ho davanti agli occhi la soluzione ma non l'ho capita :roll:

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 27 giu 2009, 14:02

Prima avevo postato inutilmente che la serie armonica diverge, ma non era quello che avevi chiesto... :oops:

Questa soluzione l'hai vista?
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 27 giu 2009, 14:27

Davide90 ha scritto:Questa soluzione l'hai vista?
Mi sembrava fosse stata postata ma non l'avevo trovata.
Ho letto la soluzione di EUCLA e mi è chiara.
Quella che non riuscivo a capire era:
Let $ k $ be the largest integer such that $ 2^k\le n $, and $ P $ the product of all the odd natural numbers not exceeding $ n $. The number $ 2^{k-1}PS $ is a sum, all whose terms, except for $ 2^{k-1}P \frac{1}{2^k} $, are integers
L'idea che sta alla base dovrebbe essere abbastanza simile, solo che non mi è ancora del tutto chiara.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 27 giu 2009, 15:08

Si, è uguale, solo che anzichè prendere $ mcm(1,2,3, \dots,2^k-1, 2^k+1,\dots,n) $ come nella soluzione di Eucla, ha preso un numero un po' più grande ma che funziona lo stesso, cioè il prodotto di $ 2^{k-1} $ con tutti i dispari $ \leq n $ .
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

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