Congettura sui primi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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rrronny
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Congettura sui primi

Messaggio da rrronny » 16 giu 2009, 16:34

Ciao a tutti, ho notato, con un programmino in C, che:
se $ \lfloor(n^4 + n^3)^\frac{1}{2}\rfloor $ è primo allora $ 4|n $.
Idem per $ \lfloor(n^4 - n^3)^\frac{1}{2}\rfloor $.
Qualcuno ha un'idea su come dimostrare tali relazioni?

Allego il codice del programma che ho utilizzato.

Saluti,
Roberto
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piever
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Messaggio da piever » 16 giu 2009, 17:34

Ho dato un'occhiata solo al primo caso, quello col meno si farà probabilmente allo stesso modo...

Scrivi $ p^2\le n^4+n^3<(p+1)^2 $ (con p primo)

Adesso, abbastanza a occhio si vede che $ p\ge n^2 $ per cui decidiamo di scrivere $ p=n^2+c $ con c naturale.
Sostituendo nella disuguaglianza di sopra e svolgendo i conti otteniamo:

$ 2cn^2+c^2\le n^3<2(c+1)n^2+(c+1)^2 $ da cui segue che n=2c+1 oppure n=2c+2

Se $ n=2c+1 $, allora abbiamo che $ p=n^2+c=4c^2+5c+1=(4c+1)(c+1) $ che è impossibile perché i primi non si possono scomporre.

Se $ n=2c+2 $, allora abbiamo $ p=n^2+c=4c^2+9c+4 $ e, visto che p è dispari, anche c deve essere dispari, per cui n=2c+2 è divisibile per 4.

Spero di essere stato di aiuto

ciaociao!

Pietro

ps: ma come mai fai questi bizzarri esperimenti con programmini in C?
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

rrronny
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Messaggio da rrronny » 16 giu 2009, 18:30

Grazie Pietro per la pronta risposta.
Stasera darò un sguardo alla dimostrazione, e proverò
a dimostrare anche l'altra relazione...

In C sto lavorando su relazioni fra primi e potenze di naturali
e per caso mi sono imbattuto in quelle del post.
Tutto ciò lo faccio come hobby...

Ciao,
Roberto

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