Se vale con una potenza, vale con una qualunque (self-owned)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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kn
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Se vale con una potenza, vale con una qualunque (self-owned)

Messaggio da kn » 14 giu 2009, 18:25

Dati due interi $ \displaystyle~a,b $ e un primo $ \displaystyle~p $ dispari che non divide a, dimostrare che se $ \displaystyle~\exists x,n>0:a^x\equiv b\pmod{p^n}\wedge p^2\nmid a^{ord_p(a)}-1 $ allora $ \displaystyle~\exists x:a^x\equiv b\pmod{p^m},~\forall m > 0 $

È own, quindi non escludo che possano esserci errori... Non escludo nemmeno che sia un fatto noto (quindi ho messo self-owned nel titolo prima che lo faccia TG) :mrgreen:

EDIT: aggiustato grazie alle dritte di Piever
Ultima modifica di kn il 15 giu 2009, 17:11, modificato 3 volte in totale.
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piever
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Messaggio da piever » 14 giu 2009, 20:36

Credo ti serva aggiungere qualche ipotesi: ad esempio che (a,p)=1 e che p è dispari, e ora mi sembra che funzioni...

Domandina a caso: ma perché non sostituisci nell'enunciato "esiste n positivo tale che" con "è vero per n=1" :?:
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kn
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Messaggio da kn » 14 giu 2009, 22:29

piever ha scritto:Credo ti serva aggiungere qualche ipotesi: ad esempio che (a,p)=1 e che p è dispari
Che problemi danno $ \displaystyle~p\mid a $ e p pari? Hai controesempi? :oops:
piever ha scritto:Domandina a caso: ma perché non sostituisci nell'enunciato "esiste n positivo tale che" con "è vero per n=1" :?:
Così la tesi è più forte (anche se dà più problemi) 8)
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Messaggio da piever » 14 giu 2009, 22:50

Per $ p|a $, l'ordine di a non esiste, ad esempio, per cui l'ipotesi diventa poco chiara, in più se prendi $ a=6 $ e $ b=3 $ e $ p=3 $, $ 6^x-3 $ non è mai troppo divisibile per 3...

Ma questo vabbeh, il problema vero è p=2. Ad esempio, se prendi a=3 e b=5, noti che a e b rispettano le ipotesi ma $ 3^x-5 $ non è mai divisibile per 8...

Il fatto che dalla tua dimostrazione seguisse il teorema anche per p=2 mi spinge a suggerirti di ricontrollare la tua dimostrazione :?
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Messaggio da kn » 15 giu 2009, 00:01

piever ha scritto:Per $ p|a $, l'ordine di a non esiste, ad esempio, per cui l'ipotesi diventa poco chiara
Hai ragione ho aggiunto l'ipotesi $ \displaystyle~p\nmid a $
piever ha scritto:Ma questo vabbeh, il problema vero è p=2. Ad esempio, se prendi a=3 e b=5, noti che a e b rispettano le ipotesi ma $ 3^x-5 $ non è mai divisibile per 8...
:oops: A riguardare questo tuo vecchio thread mi rendo conto che con 2 è meglio evitare... (anche se basterebbe l'ipotesi aggiuntiva $ \displaystyle~\frac{a+1}{2} $ dispari :cry: )
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