Problema 1997!!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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FilippoG
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Problema 1997!!

Messaggio da FilippoG » 14 giu 2009, 13:54

Ecco un problema delle fasi provinciali del 1997:

Quale fra questi numeri non è il prodotto di un quadrato perfetto per un cubo perfetto?

a.900 b.961 c.968 d.972 e.980

Voi come lo risolvereste?
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Urliamolo. Perchè non è più tempo di tacere.

Luthorien
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Re: Problema 1997!!

Messaggio da Luthorien » 14 giu 2009, 13:57

Sicuramente 980, perchè ha un solo fattore 5.
Per controllare bisogna sempicemente scomporre in fattori primi...
The enchanting charms of this sublime science reveal themselves in all their beauty only to those who have the courage to go deeply into it.
(Carl Friedrich Gauss)

FilippoG
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Messaggio da FilippoG » 14 giu 2009, 14:00

Potresti chiarire meglio? Grazie
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Re: Problema 1997!!

Messaggio da Luthorien » 14 giu 2009, 14:08

L'unico deve avere almeno un fattore elevato alla prima, altrimenti qualsiasi elevamento a potenza potrebbe essere ricondotto a prodotto di un quadrato per un cubo. Scomponiamo:

$ 900=2^2*3^2*5^2=30^2*1^3 961=31^2=31^2*1^3 968=2^3*11^2 972=2^2*3^5=6^2*3^3 980=2^2*5*7^2 $

Il risultato è 980.
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FilippoG
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Messaggio da FilippoG » 14 giu 2009, 14:49

Già! Che cavolata! :oops:
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 14 giu 2009, 22:33

ovvero se $ ~x=n^2m^3 $, allora i suoi fattori primi compaiono con esponente pari a $ ~2a+3b\; a,b\in\mathbb{N} $, quindi non puo' essere pari a 1
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