pre imo 2007 N2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ledzep92
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pre imo 2007 N2

Messaggio da ledzep92 » 04 giu 2009, 17:56

ciao mi potete dare una mano con questo esercizio 2^n+ 5^n= x^2 +65 da risolvere x coppie di (n,x) intere. Non riesco a capire la spiegazione del video sul sito di Gobbino, in particolare al minuto 19:40 quando dice"l'idea è di mettere x^2 tra due quadrati consecutivi".. perche?
grazie

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 04 giu 2009, 18:08

Praticamente se tu dimostri che quell'espressione è compresa tra 2 quadrati consecutivi hai dimostrato che non può essere un quadrato e che quindi la diofantea non ha soluzioni ;)
L'espressione che intende Gobbino è 2^n+5^n-65... ma prima devi dimostrare che n è pari ;)
Questo problema l'ho affrontato anche io per il senior :)

ledzep92
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Messaggio da ledzep92 » 04 giu 2009, 20:51

si si al fatto di dimostrare n pari ci ero arrivato.. ma ti serve semplicemente per trovare una b^k che elevata al quadrato ti dia un esponente di 2k in modo da poterlo confrontare nella disuguaglianza,giusto?..ah ok adesso un po' l'ho capito il resto.. lui dimostra k per k maggiore di 3 non esiste x e prova con k più piccoli. ma con quali tentativi e in base a quali criteri trova le basi 5^k e 5^k+1? grazie mille

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 04 giu 2009, 21:14

allora l'esercizio se non sbaglio è
$ x^2=2^n+5^n-65 $. Facendo un controllo sulle potenze di 2 e sui residui quadratici modulo 5, arrivi a dire che $ n $ pari,ovvero $ n=2m $.
Quindi diventa $ x^2=2^{2m}+5^{2m}-65 $. Per $ m\ge 4 $, $ 2^{2m}>65 $, quindi $ 5^{2m}+2^{2m}-65>5^{2m} $.
Ora sviluppiamo $ (5^{m}+1)^2=5^{2m}+2*5^m+1 $.
A questo punto puoi quindi dire che per $ m\ge 4 $ si ha che:
$ (5^m)^2<5^{2m}+2^{2m}-65<(5^m+1)^2 $.
Quindi la quantità $ 5^{2m}+2^{2m}-65 $ è compresa tra 2 quadrati perfetti consecutivi, pertanto non può essere un quadrato perfetto.
I casi per $ m\le 3 $ puoi provarli tutti e vedere per quali funziona. A quel punto puoi dire che quelle sono le uniche soluzioni.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

ledzep92
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Messaggio da ledzep92 » 04 giu 2009, 22:18

ok chiarissimo!se n fosse dispari sarebbe quindi quasi impossibile usare questo procedimento, vero? grazie mille

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exodd
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Messaggio da exodd » 07 giu 2009, 15:32

ledzep92 ha scritto:ok chiarissimo!se n fosse dispari sarebbe quindi quasi impossibile usare questo procedimento, vero? grazie mille
diciamo che n non può essere dispari, poichè l'abbiamo escluso all'inizio mediante residui quadratici..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

ledzep92
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Messaggio da ledzep92 » 07 giu 2009, 16:41

no.. intendevo se il problema avesse numeri diversi e non si potesse giungere a dire che n è necessariamente pari..oppure addirittura n dovesse essere necessariamente dispari.. allora non si potrebbe fare il discorso del porre x^2 tra due quadrati.

Luthorien
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Messaggio da Luthorien » 08 giu 2009, 16:37

Porre $ x^2 $ compreso tra due quadrati è sempre possibile..
Qua n è sempre pari, e grazie a ciò si scompone il secondo membro.
The enchanting charms of this sublime science reveal themselves in all their beauty only to those who have the courage to go deeply into it.
(Carl Friedrich Gauss)

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