OliForum Matematico

Siano $ a_1,\dots ,a_n,k $ interi positivi tali che $ \displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt[k]{a_i} $ è razionale.

Si dimostri che tutti gli $ a_i $ sono potenze k-esime.

UP!

Bon, tra un po' metto la mia soluzione se nessuno risponde...

Parecchio tempo fa lessi (non il cane) un problema che diceva all'incirca: "le radici quadrate di n primi distinti sono linearmente indipendenti in Q".. questa però mi pare parecchio più generale, potresti aspettare fino a stasera? un'idea forse ce l'ho, ma non so se funge solo se k primo o qualche altra restrizione..
Sempre bei problemi comunque, grazie mille!

Sia $ x_i:=a_i^{\frac{1}{k}} $ per ogni $ i $. Allora per ipotesi $ y:=\sum{x_i} \in \mathbb{Q} $ e dobbiamo che $ x_i \in \mathbb{Q} $ per ogni $ i $. Wlog $ x_1^2>0 $ e $ x_1 \not \in \mathbb{Q} $, per cui vogliamo mostrare l'assurdo.
Consideriamo il polinomio $ P(t)=\prod(t-x_1+\sum_{i=2}^n{\epsilon^{j_i}x_i}) $ dove i $ k^{n-1} $ fattori della produttoria sono rappresentati da tutti i possibili valori della n-1-upla $ \{j_2,j_3,...,j_n\} $, di cui ogni elemento puo assumere un valore tra 1 e k, e $ \epsilon $ è una radice primitiva $ k- $ esima dell'unità.
Adesso $ P(y)=0 $ e $ P(t)=\sum_{i=0}^{k-1}{x_1^iQ_i(t) $ per qualche polinomio $ Q_0,Q_1,Q_2,...,Q_{k-1} $ a coefficienti razionali. Infatti se in P(t) al posto di $ x_i $ (con i>1) sostituissimo un qualunque altro valore del tipo $ \epsilon^{j_i}x_i $ allora $ P(t) $ resterebbe uguale, e ciò significa che per ogni i>1 l'esponente di $ x_i $ è sempre multiplo di k.
La somma di tutti e soli gli elementi di $ P(t) $ di grado multiplo di $ k $ dovrebbe essere la media aritmetica tra $ \{P(\epsilon^it)\} $ dove $ i $ va da 1 a k.
Considerando $ t=y $ e che la somma di tutti gli $ Q_i(y) $ è nulla per $ i $ da 0 a k-1 (ma se non sbaglio vale esattamente per ogni $ Q_i(y) $) poichè P(y)=0, riscrivendo tale condizione in altro modo dovremmo ottenere un assurdo (il caso k=2 è facile in questo caso, ma negli altri non ho ancora concluso). Detto questo (che non so quanto sia vicino alla soluzione), aspetto tue notizie..


Ps. In ogni caso è algebra

Uhm, interessante...

Scrivo di sotto un modo per continuare la tua quasi soluzione, se vuoi concludere da solo non leggere (non so come mettere in invisibile che ci sono formule in LaTeX - ma quella cosa che c'hanno su MathLinks "Click to reveal hiddent content" c'è un modo per farla anche sul forum?)

Ora supponiamo che $ a_1 $ non sia della forma $ b^c $ con $ c|k $ e $ c\neq 1 $ (altrimento semplifico gli esponenti e in qualche modo si aggiusta, ma ci penseremo in seguito)

In questo caso $ x^k-a_1 $ è un polinomio irriducibile nei razionali di cui $ x_1 $ è una radice...

Ora, definisci $ \displaystyle R(x)=\sum_{i=0}^{k-1}{x^iQ_i(y) $

R è un polinomio a coefficienti razionali, di cui $ x_1 $ è radice. Quindi è divisibile per $ x^k-a_1 $ ma, visto che ha grado più piccolo, si vede che è 0, da cui $ Q_i(y)=0 $ per ogni i.

Da qui credo si riesca a concludere...

E sì, in effetti è Algebra...

Altro hintone: se mandiamo $ x_1 $ in $ \epsilon x_1 $ cosa succede a P(y)?

pietro ma anche la tua soluzione partiva da costruire P?

Sì, purtroppo non ho soluzioni meno sborone e più decorose, anche se sono abbastanza convinto che sia vero che a forza di elevare alla k e spostare le cose senza radici da una parte alla fine si riesca a togliere tutte le radici e questo dovrebbe bastare. Solo che non sono riuscito a dimostrarlo... Se tu ci sei riuscito, potresti dirmi come?

Mi scuso per non aver risposto prima..
Allego sotto la soluzione completa

jordan ha scritto:Mi scuso per non aver risposto prima..
Allego sotto la soluzione completa

Uh, grazie mille per l'allegato, Iura è sempre Iura...