aiuto

ledzep92 · Messaggio da **ledzep92** » 03 giu 2009, 15:35

ciao! ho cercato qua e la ma non riesco a risolvere " trovare per quali valori interi di a l'espressione a+79/(2a^2+1) è intera". come si risolve..? so k è un problema molto semplice ma non sapevo dove postare.. grazie

Tibor Gallai · Messaggio da **Tibor Gallai** » 03 giu 2009, 16:14

C'è una tecnica grezza ma semplicissima: il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, quindi puoi ridurti a considerare un numero finito di casi. Infatti il denominatore cresce più velocemente del numeratore, e quindi da un certo a in poi il modulo della frazione sarà minore di 1 (e idem per gli a negativi).
In questo esempio, vedi subito che la frazione ha modulo minore di 1 per a<-6 e per a>6. Quindi devi considerare soltanto 13 possibilità per a (e queste le verifichi a mano), più i casi in cui il numeratore si annulla, ovvero a=-79.

Oltre a questo, non è bene dare ai thread dei titoli poco espressivi come "aiuto" o "problemino" etc, perché ogni volta che lo fai Allah uccide un gattino da qualche parte nel mondo.

ledzep92 · Messaggio da **ledzep92** » 03 giu 2009, 16:55

Ah ok,quindi in sostanza bisogna per forza procedere provando con tutti i valori compresi nell' intervallo..non c'è un modo di evitare i tentativi(nel caso in cui,per esempio, ci sono un trentina di valori)? grazie della spiegazione

Ok, mi piacciono i gatti

Tibor Gallai · Messaggio da **Tibor Gallai** » 03 giu 2009, 17:13

Per questo genere di problemi, delle idee/tecniche utili sono fare la divisione tra polinomi (quando grado numeratore > grado denominatore), valutare il numeratore e il denominatore modulo qualcosa (per escludere i casi in cui il numeratore è multiplo di k ma il numeratore non lo è), e fattorizzare i polinomi. Però, al di là dei casi specifici, non conosco cose molto generali applicabili sempre.

SkZ · Messaggio da **SkZ** » 03 giu 2009, 17:20

impararsi 2 comandi di $ ~\LaTeX $ in piu' e usare i tag forniti fa tanto schifo? \frac{}{} non mi pare cosi' difficile da ricordate
solo mettendo i tag (e un paio di parentesi in piu') $ ~(a+79)/(2a^2+1) $ e' gia' piu' leggibile
con \frac hai
$ $\frac{a+79}{2a^2+1} $ oppure $ $a+\frac{79}{2a^2+1} $ secondo quanto scritto da te
nel secondo caso e' facile: basta che il denominatore sia un divisore del numeratore che e' pure primo
nel primo mi vine in mente solo la considerazione che se sia num che den sono divisibili per $ ~p>2 $, allora $ $a^2\equiv \frac{p-1}{2}\pmod{p} $
(p numero primo, ovviamente)

Tibor Gallai ha scritto:Oltre a questo, non è bene dare ai thread dei titoli poco espressivi come "aiuto" o "problemino" etc, perché ogni volta che lo fai Allah uccide un gattino da qualche parte nel mondo.

a me tornava che era un altro a fare ste stragi

viewtopic.php?p=78199#78199

Tibor Gallai · Messaggio da **Tibor Gallai** » 03 giu 2009, 18:02

Ah sì, riguardo all'ambiguità dell'espressione, ho pensato che aggiungere un "a+" davanti alla frazione è ridondante in questo problema, quindi ho optato per l'altra interpretazione. Poi ledzep92 non ha obiettato, perciò penso di averci preso.

SkZ ha scritto:a me tornava che era un altro a fare ste stragi
viewtopic.php?p=78199#78199

Questa mi mancava.

ledzep92 · Messaggio da **ledzep92** » 04 giu 2009, 14:10

si scusate era un (a+79)/(2a^2+1).
comunque non riesco a capire il tuo procedimento.. xk tu nn puoi conoscere "p" visto che hai "a" come variabile.

Carlein · Messaggio da **Carlein** » 04 giu 2009, 14:46

Smaneggiando un pò ho trovato che forse più aritmeticamente si può fare così:un a soluzione soddisfa: $ 2(a+79)^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ ossia $ 2a^2+4(79)a+(2)79^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ quindi $ 4(79)a+(2)79^2-1 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ quindi $ 2(79)^2+1 \equiv 0 \pmod {2a^2+1} $ da lì ti metti alla caccia dei divisori di quel numerello,inizi a vedere quali si possono scrivere in quel modo, e tra quelli fai i conti....computativamente probabilmente non cambia un tubo in meglio,e forse qualcosa in peggio, da quello che diceva tibor.
Edit: si edriv grazie,avevo scritto alla svelta e dimenticato quel 2,e il risultato viene quindi un pò più "significativo"...trovo interessante che sia proprio $ 2a^2+1|2(79)^2+1 $....per caso nasconde qualcosina dietro? (non che abbia ragioni più serie del fatto che è carina per sospettarlo

)

edriv · Messaggio da **edriv** » 04 giu 2009, 14:58

Carlein ha scritto:Smaneggiando un pò ho trovato che forse più aritmeticamente si può fare così:un a soluzione soddisfa: $ 2(a+79)^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ ossia $ 2a^2+4(79)a+79^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ quindi $ 4(79)a+79^2-1 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ quindi $ 3(79)^2+1 \equiv 0 \pmod {2a^2+1} $ da lì ti metti alla caccia dei divisori di quel numerello,inizi a vedere quali si possono scrivere in quel modo, e tra quelli fai i conti....computativamente probabilmente non cambia un tubo in meglio,e forse qualcosa in peggio, da quello che diceva tibor.

io direi:
$ 2(a+79)^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $ ossia $ 2a^2+4(79)a+2\cdot 79^2 \equiv 0 \pmod{2a^2+1} $, nota che ho aggiunto un 2 alla seconda formula.

Ragazzi, è molto più semplice di quanto credete!
Non tutte le diofantee vengono smanettando con le congruenze e le fattorizzazioni... ma se non vengono smanettando con le congruenze e le fattorizzazioni, in genere vengono sempre smanettando con congruenze, fattorizzazioni E DISIGUAGLIANZE.
Detto questo, faccio notare che in generale se a divide b, allora a non potrà essere troppo più grande di b...