Sia $ p $ un primo e $ f_1(x_1,\ldots,x_n),f_2(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_k(x_1,\ldots,x_n) $ siano $ k $ polinomi a coefficienti interi in $ n $ variabili. Supponiamo che $ \sum_{i=1}^k{deg(f_i)}<n $.
Mostrare che il numero di soluzioni modulo $ p $ del sistema $ f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) \equiv 0 \pmod p $ per ogni $ 1 \le i \le k $ è multiplo di $ p $.
Un forte hint dal problema 11 della staffetta
Un forte hint dal problema 11 della staffetta
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Toh, il mitico Lemma di Chevalley!
Hint sulll'hint (o metahint, come direbbe il beneamato Gegegb
):
Quanto vale $ \displaystyle \prod_{i=1}^k [1- f_i(x_1,\ldots,x_n)^{p-1}] $ modulo p se $ (x_1,\dots ,x_n) $ è soluzione del sistema? E se $ (x_1,\dots ,x_n) $ non è soluzione del sistema?
Quindi come calcolo il numero di soluzioni modulo p?
Hint sulll'hint (o metahint, come direbbe il beneamato Gegegb
):Quanto vale $ \displaystyle \prod_{i=1}^k [1- f_i(x_1,\ldots,x_n)^{p-1}] $ modulo p se $ (x_1,\dots ,x_n) $ è soluzione del sistema? E se $ (x_1,\dots ,x_n) $ non è soluzione del sistema?
Quindi come calcolo il numero di soluzioni modulo p?
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)