Un forte hint dal problema 11 della staffetta

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Un forte hint dal problema 11 della staffetta

Messaggio da jordan » 25 mag 2009, 13:23

Sia $ p $ un primo e $ f_1(x_1,\ldots,x_n),f_2(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_k(x_1,\ldots,x_n) $ siano $ k $ polinomi a coefficienti interi in $ n $ variabili. Supponiamo che $ \sum_{i=1}^k{deg(f_i)}<n $.

Mostrare che il numero di soluzioni modulo $ p $ del sistema $ f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) \equiv 0 \pmod p $ per ogni $ 1 \le i \le k $ è multiplo di $ p $.
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piever
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Messaggio da piever » 03 giu 2009, 20:20

Toh, il mitico Lemma di Chevalley!

Hint sulll'hint (o metahint, come direbbe il beneamato Gegegb :P ):

Quanto vale $ \displaystyle \prod_{i=1}^k [1- f_i(x_1,\ldots,x_n)^{p-1}] $ modulo p se $ (x_1,\dots ,x_n) $ è soluzione del sistema? E se $ (x_1,\dots ,x_n) $ non è soluzione del sistema?
Quindi come calcolo il numero di soluzioni modulo p?
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

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