x^2=y^p+1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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piever
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x^2=y^p+1

Messaggio da piever » 18 mag 2009, 16:23

Sia p un primo dispari. Siano x e y interi positivi tali che $ x^2=y^p+1 $

Si dimostri che $ p|x $

P.S. "Per il teorema di Mihailescu l'unica soluzione possibile è p=3, x=3, 2=2 e nello specifico 3|3 da cui la tesi" NON è una dimostrazione valida, a meno che non siate così gentili da postare sul forum una dimostrazione puramente elementare del suddetto teorema...
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kn
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Re: x^2=y^p+1

Messaggio da kn » 21 mag 2009, 22:34

piever ha scritto:"Per il teorema di Mihailescu l'unica soluzione possibile è p=3, x=3, 2=2 e nello specifico 3|3 da cui la tesi" NON è una dimostrazione valida, a meno che non siate così gentili da postare sul forum una dimostrazione puramente elementare del suddetto teorema...
Non è che per caso ti sei dato la zappa sui piedi da solo?
Moltiplicando l'equazione per -1 otteniamo $ \displaystyle~(ix)^2=(-y)^p-1 $ e concludiamo con questo tuo post (a meno che non valga solo per gli interi :oops: )
No, eh? Vabbè perdonatemi... so a malapena cos'è un anello :cry: :oops:
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piever
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Messaggio da piever » 22 mag 2009, 15:40

Se hai idee per riadattare l'altra dimostrazione, postale. Ma ti consiglierei di cercare altre strade, perché l'idea degli interi di Gauss nell'altro problema serviva per fattorizzare $ x^2+1 $ come $ (x+i)(x-i) $. Tu qui vorresti usarli per fattorizzare $ x^2-1 $ che però si fattorizza comunque...

Magari al ritorno dal preimo se ancora nessuno ha risolto dò un hint.
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 22 mag 2009, 18:33

Alur io non ho affatto concluso... anzi forse ho incasinato ma ho ricondotto il problema a dimostrare l'impossibilità di:
$ 2^{kp-2}a^p=b^p\pm 1\ \ \ \ (a,b,k)\subset\mathbb{N}\ \ 2\nmid{(a,b)} $
Ovviamente c'è la soluzione p=3,a=1,b=1... ma quella equivale a quella evidenziata nel problema originale da piever.
Non posto la dimostrazione per arrivare fino a qui perchè penso che da qua non si conclude una mazza xD
Qualcuno dice se ho toppato tutto oppure se vado avanti per questa strada concludo...
edit: su consiglio di kn ho corretto un piccolo errorino

piever
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Messaggio da piever » 22 mag 2009, 22:31

Uhm, bon, giusto per accelerare i tempi, ecco l'hint.

Sia a e b una coppia che soddisfa quell'equazione (cioè a^2=b^p+1 con (a,p)=1). Si consideri l'equazione di Pell x^2-by^2=1.
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