2^x=3^y+5
2^x=3^y+5
Trovare tutti gli $ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 $ tali che $ 2^x=3^y+5 $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Allora..$ 2^x-3^y=5 $. 2^x può essere congruo a 2 modulo 5(con $ x\equiv 1\pmod 4 $), a 4 ($ x\equiv 2\pmod 4 $), a 3 ($ x\equiv 3\pmod 4 $) o a 1($ x\equiv 0\pmod 4 $), mentre 3 può essere congruo a 3,4,2,1 modulo 5. E, dal momento che $ 2^x\equiv 3^y\pmod 5 $, x ed y hanno la stessa parità.
Pongo prima x, e quindi y, dispari.
Risolvo prima alconi casi "piccoli": x=0 non va bene, x=1 neanche , x=2 nemmeno, x=3 prevede y=1. Ora rimangono tutti i casi 3<x. Se 3<x allora $ 16|5+3^y; 3^y\equiv 11\pmod {16}\implies y\equiv 3\pmod 4 $. A questo punto, tornando a ragionare modulo 5, si ottiene $ x\equiv 1\pmod 4 $. Ragioniamo ora modulo 15:
$ 2\equiv 2\pmod {15} $
$ 2^2\equiv 4\pmod {15} $
$ 2^3\equiv 8\pmod {15} $
$ 2^4\equiv 1\pmod {15} $. L'ordine moltiplicativo è quindi 4.
Dato che $ x\equiv 1\pmod 4\implies 2^x\equiv 1\pmod {15}\implies 5+3^y\equiv 1\pmod {15} $ e quindi $ 3^y\equiv 11\pmod {15} $. Questa cosa non può mai avverarsi.
Considero ora x pari:
$ (2^{x/2}+3^{y/2})(2^{x/2}-3^{y/2})=5 $
Allora, dato che 5=5*1, come minimo $ 2^{x/2}-3^{y/2}=1 $. Pogo x/2=a e y/2=b per comodità:
$ 2^a=3^b+1 $. Già modulo 8 non funziona più nulla, però b=1 e a=2 funziona in questo caso ma non nel caso generale, quindi non va bene.
In conclusione l'unico caso buono DOVREBBE ESSERE 8-3=5. Spero di non aver fatto errori enormi.
Pongo prima x, e quindi y, dispari.
Risolvo prima alconi casi "piccoli": x=0 non va bene, x=1 neanche , x=2 nemmeno, x=3 prevede y=1. Ora rimangono tutti i casi 3<x. Se 3<x allora $ 16|5+3^y; 3^y\equiv 11\pmod {16}\implies y\equiv 3\pmod 4 $. A questo punto, tornando a ragionare modulo 5, si ottiene $ x\equiv 1\pmod 4 $. Ragioniamo ora modulo 15:
$ 2\equiv 2\pmod {15} $
$ 2^2\equiv 4\pmod {15} $
$ 2^3\equiv 8\pmod {15} $
$ 2^4\equiv 1\pmod {15} $. L'ordine moltiplicativo è quindi 4.
Dato che $ x\equiv 1\pmod 4\implies 2^x\equiv 1\pmod {15}\implies 5+3^y\equiv 1\pmod {15} $ e quindi $ 3^y\equiv 11\pmod {15} $. Questa cosa non può mai avverarsi.
Considero ora x pari:
$ (2^{x/2}+3^{y/2})(2^{x/2}-3^{y/2})=5 $
Allora, dato che 5=5*1, come minimo $ 2^{x/2}-3^{y/2}=1 $. Pogo x/2=a e y/2=b per comodità:
$ 2^a=3^b+1 $. Già modulo 8 non funziona più nulla, però b=1 e a=2 funziona in questo caso ma non nel caso generale, quindi non va bene.
In conclusione l'unico caso buono DOVREBBE ESSERE 8-3=5. Spero di non aver fatto errori enormi.
WhyJacobi ha scritto:Usiamo il solito cannone: teorema di catalan!!!
Reginald ha scritto:Dato che $ x\equiv 1\pmod 4\implies 2^x\equiv 1\pmod {15} $
(a,b)=(1,0)Reginald ha scritto:Considero ora x pari: [...]
$ 2^a=3^b+1 $. Già modulo 8 non funziona più nulla, però b=1 e a=2 funziona in questo caso ma non nel caso generale, quindi non va bene.
E non avevi già mostrato prima che $ 2 \nmid xy $ ?
E comunque, le variabili sono in $ \mathbb{Z} $...
Ps. ho recentemente scoperto che è un "usamo"..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Concederò al mondo una perla di saggezza di nonno piever. Persone poco accorte sostengono che se esiste una soluzione è inutile cercare moduli.... In questo caso esistono 2 soluzioni: (3,1) e (5,3). Ma noi, impavidi, facciamo due cose:
1) diciamo che x e y sono nonnegativi, per evitare future rotture di scatole
2) studiamo il comportamento di 3 modulo $ 2^6 $, perché è sostanzialmente l'unico modo in cui possiamo ancora sperare nei moduli.
E ora, spavaldamente, dimostriamo che non esistono soluzioni con $ x\ge 6 $
Modulo $ 2^6 $ vedo che $ y\equiv 11 \pmod{16} $
Ora cerco un modulo di primo in cui una congruenza modulo 16 dell'esponente mi sia d'aiuto, cioè un primo tale che p-1 è abbastanza divisibile per p. Ad esempio, non so, 17...
Visto che $ y\equiv 11 \pmod{16} $ ho che $ 3^y\equiv 7\pmod{17} $ da cui $ 2^x\equiv 12 \pmod{17} $ che fortunatamente non ha soluzione...
1) diciamo che x e y sono nonnegativi, per evitare future rotture di scatole
2) studiamo il comportamento di 3 modulo $ 2^6 $, perché è sostanzialmente l'unico modo in cui possiamo ancora sperare nei moduli.
E ora, spavaldamente, dimostriamo che non esistono soluzioni con $ x\ge 6 $
Modulo $ 2^6 $ vedo che $ y\equiv 11 \pmod{16} $
Ora cerco un modulo di primo in cui una congruenza modulo 16 dell'esponente mi sia d'aiuto, cioè un primo tale che p-1 è abbastanza divisibile per p. Ad esempio, non so, 17...
Visto che $ y\equiv 11 \pmod{16} $ ho che $ 3^y\equiv 7\pmod{17} $ da cui $ 2^x\equiv 12 \pmod{17} $ che fortunatamente non ha soluzione...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
