2^x=3^y+5

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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2^x=3^y+5

Messaggio da jordan » 14 mag 2009, 09:53

Trovare tutti gli $ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 $ tali che $ 2^x=3^y+5 $.
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 14 mag 2009, 13:45

usiamo il solito cannone: teorema di catalan!!! :lol:
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Reginald
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Messaggio da Reginald » 14 mag 2009, 13:56

Allora..$ 2^x-3^y=5 $. 2^x può essere congruo a 2 modulo 5(con $ x\equiv 1\pmod 4 $), a 4 ($ x\equiv 2\pmod 4 $), a 3 ($ x\equiv 3\pmod 4 $) o a 1($ x\equiv 0\pmod 4 $), mentre 3 può essere congruo a 3,4,2,1 modulo 5. E, dal momento che $ 2^x\equiv 3^y\pmod 5 $, x ed y hanno la stessa parità.
Pongo prima x, e quindi y, dispari.
Risolvo prima alconi casi "piccoli": x=0 non va bene, x=1 neanche , x=2 nemmeno, x=3 prevede y=1. Ora rimangono tutti i casi 3<x. Se 3<x allora $ 16|5+3^y; 3^y\equiv 11\pmod {16}\implies y\equiv 3\pmod 4 $. A questo punto, tornando a ragionare modulo 5, si ottiene $ x\equiv 1\pmod 4 $. Ragioniamo ora modulo 15:
$ 2\equiv 2\pmod {15} $
$ 2^2\equiv 4\pmod {15} $
$ 2^3\equiv 8\pmod {15} $
$ 2^4\equiv 1\pmod {15} $. L'ordine moltiplicativo è quindi 4.
Dato che $ x\equiv 1\pmod 4\implies 2^x\equiv 1\pmod {15}\implies 5+3^y\equiv 1\pmod {15} $ e quindi $ 3^y\equiv 11\pmod {15} $. Questa cosa non può mai avverarsi.

Considero ora x pari:
$ (2^{x/2}+3^{y/2})(2^{x/2}-3^{y/2})=5 $
Allora, dato che 5=5*1, come minimo $ 2^{x/2}-3^{y/2}=1 $. Pogo x/2=a e y/2=b per comodità:
$ 2^a=3^b+1 $. Già modulo 8 non funziona più nulla, però b=1 e a=2 funziona in questo caso ma non nel caso generale, quindi non va bene.

In conclusione l'unico caso buono DOVREBBE ESSERE 8-3=5. Spero di non aver fatto errori enormi.

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jordan
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Messaggio da jordan » 14 mag 2009, 15:08

Jacobi ha scritto:Usiamo il solito cannone: teorema di catalan!!!
Why :?:
Reginald ha scritto:Dato che $ x\equiv 1\pmod 4\implies 2^x\equiv 1\pmod {15} $
:?:
Reginald ha scritto:Considero ora x pari: [...]
$ 2^a=3^b+1 $. Già modulo 8 non funziona più nulla, però b=1 e a=2 funziona in questo caso ma non nel caso generale, quindi non va bene.
(a,b)=(1,0) :?:
E non avevi già mostrato prima che $ 2 \nmid xy $ ?
E comunque, le variabili sono in $ \mathbb{Z} $...


Ps. ho recentemente scoperto che è un "usamo"..
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piever
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Messaggio da piever » 15 mag 2009, 15:36

Concederò al mondo una perla di saggezza di nonno piever. Persone poco accorte sostengono che se esiste una soluzione è inutile cercare moduli.... In questo caso esistono 2 soluzioni: (3,1) e (5,3). Ma noi, impavidi, facciamo due cose:

1) diciamo che x e y sono nonnegativi, per evitare future rotture di scatole

2) studiamo il comportamento di 3 modulo $ 2^6 $, perché è sostanzialmente l'unico modo in cui possiamo ancora sperare nei moduli.

E ora, spavaldamente, dimostriamo che non esistono soluzioni con $ x\ge 6 $

Modulo $ 2^6 $ vedo che $ y\equiv 11 \pmod{16} $

Ora cerco un modulo di primo in cui una congruenza modulo 16 dell'esponente mi sia d'aiuto, cioè un primo tale che p-1 è abbastanza divisibile per p. Ad esempio, non so, 17...

Visto che $ y\equiv 11 \pmod{16} $ ho che $ 3^y\equiv 7\pmod{17} $ da cui $ 2^x\equiv 12 \pmod{17} $ che fortunatamente non ha soluzione...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 15 mag 2009, 22:07

jordan ha scritto:
Jacobi ha scritto:Usiamo il solito cannone: teorema di catalan!!!
Why :?:
giusto, scusami!! credevo fosse uguale a 1 :oops:
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