Numeri astrusi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Kopernik
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Numeri astrusi

Messaggio da Kopernik » 04 mag 2009, 15:33

Propongo a tutti un problema che è stato inventato da una mia allieva. Si definisce "astruso" un numero tale che il suo doppio sia uguale alla somma tra il numero scritto da destra a sinistra e le sue cifre prese singolarmente. Ad esempio il 24 è astruso perché 2*24 = 42+4+2.
Quanti numeri astrusi esistono fra 0 e 5000 (compresi)?
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

thebon90
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Messaggio da thebon90 » 04 mag 2009, 16:17

io ho diviso i casi secondo le cifre del numero...

-una cifra:
solo 0

-numero a due cifre:
20a+2b=10b+a+a+b -> 2a=b
quindi i numeri sono: 12,24,36 e 48

-numero a tre cifre:
200a+20b+2c=100c+10b+a+a+b+c -> 11(2a-c)=-b
visto che 0<b<9 b sarà multiplo di 11 solo con b=0
quindi: 2a=c
perciò i numeri a 3 cifre sono: 102, 204, 306 e 408

-numeri a quattro cifre:
2000a+200b+20c+2d=1000d+100c+10b+a+a+b+c+d
37(2a-d)=3c-7b
questo risulta verificato con b=3, c=7 e d=2a e con b=0 c=0 d=2a
i numeri a 4 cifre perciò sono: 1002, 2004, 3006, 4008, 1372, 2374, 3376, 4378..

quindi in totale sono 17 i numeri astrusi tra 0 e 5000...
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drago90
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Messaggio da drago90 » 04 mag 2009, 16:19

direi di scrivere come $ 2*(100a+10b+c)=100c+10b+a+c+b+a $ da qui si arriva alla scrittura come $ 19a+9b-99c=0 $ ovvero$ 9(22a+b-11c)=0 $ quindi si vede che solo b può essere zero e si trovano i numeri 102,204,306,408..
detto ciòsi analizza il caso di $ 10a+b= 10b+a+a+b $ e si arriva a $ 18a-9b=0 $ da cui $ 2a-b=0 $ e quindi 12,24,36,48.
anche lo zero va bene quindi direi $ (0,12,24,36,48,102,204,306,408) $



edit: anticipato...e non ho considerato 5000 ma 500...vabbè..

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 04 mag 2009, 16:21

Spremetevi le meningi: oltre a essere accettabili tutti i numeri di una cifra, avete trovato tutti quelli a due e tre cifre; ma con quattro ce ne sono parecchi altri...
Buon divertimento
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 04 mag 2009, 16:35

1° casoIl numero ha 4 cifre
Indico il numero(di 4 cifre) che cerchiamo con $ \overline{abcd} $.
Allora è vero che $ 2\overline{abcd}=\overline{dcba}+a+b+c+d $
Sviluppando ottengo
$ 2(1000a+100b+10c+d) = 1000d+100c+10b+a+a+b+c+d \Rigtarrow $
$ \Rigtarrow 1998a-999d=81c-189b \Rightarrow 37(2a-d)=3c-7b $
Si osserva , poi , che $ 3c-7b < 37 $ quando $ 0\le c \le 9 $ e $ 0\le b \le 9 $. Ma siccome $ 37|3c-7b $ sarà inevitabilmente $ 3c-7tb=0 \Rightarrow 3c=7b $. Da quest'ultima relazione ricaviamo: $ (c=7,b=3);(c=0,b=0) $
Da $ 3c-7b=0 $ otteniamo $ 2a-d=0 $ ovvero $ 2a=d $ quindi le altre coppie valide per $ a $ e $ d $ sono $ (a=1,d=2);(a=2,d=4);(a=3,d=6);(a=4;d=8) $
I numeri astrusi di 4 cifre sono quindi 8: $ 1372,2374,3376,4378,1002,2004,3006,4008 $ e sono tutti inferiori di $ 5000 $

2° caso:Il numero ha 3 cifre.
Indico il numero(di 3 cifre) con $ \overline{abc} $.
Allora è vero che $ 2\overline{abc}=\overline{cba}+a+b+c $. Sviluppando ottengo:
$ 2(100a+10b+c)=100c+10b+a+a+b+c \Rightarrow $
$ \Rightarrow 198a-99c+9b=0 \Rightarrow 22a-11c+b=0\Rightarrow $
$ \Rightarrow 11(c-2a) = b $
Siccome $ 11|b $ ma $ 0\le b \le 9 $ risulta $ b=0 $ e $ c=2a $. I numeri astrusi di tre cifre sono dunque 4 , ovvero $ 102,204,306,408 $

3° caso:Il numero ha 2 cifre.
Indico il numero(di 2 cifre) con $ \overline{ab} $
Ottengo $ 2\overline{ab}={ba}+a+b $ , dunque $ 20a+2b=10b+a+a+b \Rightarrow 18a=9b \Rightarrow 2a=b $.
Le coppie valide per $ a $e$ b $ sono dunque $ (1,2);(2,4);(3,6);(4,8) $
Quindi i numeri astrusi di 2 cifre sono 4 e cioè $ 12,24,36,48 $

E' facile verificare , poi, che fra le 10 cifre TUTTE sono astruse

Per cui i numeri astrusi fra 0 e 5000 (estremi inclusi) sono
$ 8+4+4+10=26 $

E' così?
Avevo fatto un errore di divisione al secondo caso. oddio sto proprio fuso...
Ultima modifica di GioacchinoA il 04 mag 2009, 16:46, modificato 3 volte in totale.

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jordan
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Messaggio da jordan » 04 mag 2009, 16:35

thebon90 ha scritto:111(2a-d)=3(3c-7b)
analogamente a sopra 3(3c-7b) sarà multiplo di 111 solo quando b=0 e c=0
:roll:
GioacchinoA ha scritto:Si osserva , poi , che $ 3c-7b < 37 $ quando $ 0\le c \le 9 $ e $ 0\le b \le 9 $.
:roll:
drago90 ha scritto:$ b=3 c=7 d=2a : 1372,2374,3376,4378 $

$ b=0 c=0 d=2a : 1002, 2004, 3006, 4008 $
:roll:
Kopernik ha scritto:... oltre a essere accettabili tutti i numeri di una cifra...
:lol:
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drago90
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Messaggio da drago90 » 04 mag 2009, 16:36

allra ci riprovo con i numeri a 4 cifre....

$ 2(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a+a+b+c+d $

$ 1998a+189b-81c-999d=0 ovvero 74a+7b-3c-37d=0 $

$ 37(2a-d)+(7b-3c)=0 $

$ b=3; c=7; d=2a; danno le soluzioni: 1372,2374,3376,4378 $

$ b=0; c=0; d=2a; danno le soluzioni: 1002, 2004, 3006, 4008 $

spero di non essermene persi troppi...

ok...con il latex sono un cane...

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 04 mag 2009, 18:22

Insistete ragazzi, ma ancora non li avete trovati tutti. I numeri astrusi a una cifra ovviamente sono dieci. A due cifre ce ne sono quattro; quattro sono pure quelli a tre cifre. Con quattro cifre ne avete trovati prima quattro, poi otto. Ebbene, ce ne sono di più..
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 04 mag 2009, 19:30

$ 2000a+200b+20c+2d=1000d+100c+10b+a+d+c+b+a $
$ 74a+7b=3c+37d $
$ $74a\le3c+37d\le9\cdot(3+37)=360\rightarrow a\le\left\lfloor\frac{360}{74}\right\rfloor=4\rightarrow a\in\left\{1,2,3,4\right\} $

Caso 1: $ ~a=1 $.
$ 74+7b=3c+37d $
$ $d\le\left\lfloor\frac{74+7\cdot9}{37}\right\rfloor=3 $
$ $d\ge\left\lceil\frac{74-3\cdot9}{37}\right\rceil=2 $
Se $ d=2 $ allora $ 7b=3c $, dunque 1002 e 1372 sono astrusi.
Se $ d=3 $ allora $ 7b=3c+37 $
$ b\in\left\{6,7,8\right\} $ e $ 7b\equiv1\pmod3 $, dunque 1743 è astruso.

Caso 2: $ ~a=2 $.
$ 148+7b=3c+37d $
$ $d\le\left\lfloor\frac{148+7\cdot9}{37}\right\rfloor=5 $
$ $d\ge\left\lceil\frac{148-3\cdot9}{37}\right\rceil=4 $
Se $ d=4 $ allora $ 7b=3c $, dunque 2004 e 2374 sono astrusi.
Se $ d=5 $ allora $ 7b=3c+37 $.
Per le osservazioni al caso 1, 2745 è astruso.

Caso 3: $ ~a=3 $.
$ 222+7b=3c+37d $
$ $d\le\left\lfloor\frac{222+7\cdot9}{37}\right\rfloor=7 $
$ $d\ge\left\lceil\frac{222-3\cdot9}{37}\right\rceil=6 $
Se $ d=6 $ allora $ 7b=3c $, dunque 3006 e 3376 sono astrusi.
Se $ d=7 $ allora $ 7b=3c+37 $.
Per le osservazioni al caso 1, 3747 è astruso.

Caso 4: $ ~a=4 $.
$ 296+7b=3c+37d $
$ $d\le\left\lfloor\frac{296+7\cdot9}{37}\right\rfloor=9 $
$ $d\ge\left\lceil\frac{296-3\cdot9}{37}\right\rceil=8 $
Se $ d=8 $ allora $ 7b=3c $, dunque 4008 e 4378 sono astrusi.
Se $ d=9 $ allora $ 7b=3c+37 $.
Per le osservazioni al caso 1, 4749 è astruso.

Totale: 12 astrusi. È corretto?

EDIT: i conti con le disuguaglianze si possono evitare notando che poiché 3c può valere al massimo 27, le uniche possibilità sono d=2a e d=2a+1

EDIT2: corretto il caso 1
Ultima modifica di pak-man il 04 mag 2009, 19:43, modificato 1 volta in totale.

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 04 mag 2009, 19:37

mi hai anticipato di poco sigh...... :cry:
cmq ne hai dimenticato uno, cioè 1743.
Quindi in totale sono 12 direi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

pak-man
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Messaggio da pak-man » 04 mag 2009, 19:44

Maioc92 ha scritto:cmq ne hai dimenticato uno, cioè 1743.
Hai ragione, è perché ho sbagliato i conti prima accorgermi di quanto scritto nel primo edit. Ho corretto.

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 04 mag 2009, 20:37

Bravi. :D 12 astrusi a 4 cifre per un totale di 30 numeri astrusi fra 0 e 5000.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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