Lemma stranoto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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piever
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Lemma stranoto

Messaggio da piever » 30 apr 2009, 13:24

Allora, sia a un intero congruo a 1 modulo p, dove p è un primo dispari.

Si dimostri che $ v_p(a^k-1)=v_p(a-1)+v_p(k) $

Dove $ v_p(roba) $ è l'esponente con cui p compare nella fattorizzazione di "roba in fattori primi.

Bonus: come si aggiusta il caso p=2?
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gst_113
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Messaggio da gst_113 » 30 apr 2009, 19:05

Provo:
$ v_p(a^k-1)=v_p((a-1)*(a^{k-1}+a^{k-2}+...+1)) ${a^{k-1}+a^{k-2}+...+1}\equiv k$ (p) $

se k non è divisibile per p la formula è banalmente vera.

se k è multiplo di $ p^n $ allora
$ a^{k-1}+a^{k-2}+...+1=xp^n=xp^{v_p(k)} a-1=yp^{v_p(a-1)} (a-1)*(a^{k-1}+a^{k-2}+...+1)=yp^{v_p(a-1)}*xp^{v_p(k)}=xyp^{v_p(a-1)+v_p(k)} $

con x e y che non sono multipli di k, quindi:
$ v_p(xyp^{v_p(a-1)+v_p(k)})=v_p(a)+v_p(k) $
quindi la tesi è dimostrata

probabilmente si può dimostrare meglio, quindi se qualcuno mi corregge o mi dà delle dritte mi fa felice, infatti sono un principiante e ho bisogno di imparare la scrittura rigorosa.

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julio14
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Messaggio da julio14 » 30 apr 2009, 21:40

gst_113 ha scritto:$ a^{k-1}+a^{k-2}+...+1=xp^n=xp^{v_p(k)} $
Questo passaggio non mi è troppo chiaro... da dove salta fuori?
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Messaggio da gst_113 » 01 mag 2009, 10:59

julio14 ha scritto:Questo passaggio non mi è troppo chiaro... da dove salta fuori?
se devo essere sincero quel passsaggio lascia perplesso pure me... considerando i fattori in mod (p) si ha una somma di k unità, e allora è ovvio; però mi rendo conto che questa non è una dimostrazione.
Probabilmente si riesce a dimostrarlo per p diverso da 2, ma non ci riesco. Suggerimenti?
(forse bisogna dimostrare che LHS-k è divisibile per $ p^n, n>=v_p(k) $)

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julio14
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Messaggio da julio14 » 01 mag 2009, 14:47

gst_113 ha scritto:se devo essere sincero quel passsaggio lascia perplesso pure me...
lol
gst_113 ha scritto:considerando i fattori in mod (p) si ha una somma di k unità, e allora è ovvio; però mi rendo conto che questa non è una dimostrazione.
Più che altro non è una cosa "intuitivamente giusta, ma non formalizzata", è proprio sbagliata. $ $1+1+...+1=12\equiv 9\pmod3 $ eppure $ $v_3(9)\neq v_3(12) $
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Messaggio da gst_113 » 01 mag 2009, 19:07

già, così come l'ho messa io è una cazzata. come si dimostra il lemma?

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kn
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Messaggio da kn » 20 mag 2009, 19:13

Giustino ha scritto:come si dimostra il lemma?
Induzione estesa?
Pietro ha scritto:come si aggiusta il caso p=2?
Va bene $ \displaystyle~\begin{cases}\upsilon_2(a^k-1)=\upsilon_2(a-1)+\upsilon_2(k)+\upsilon_2(\frac{a+1}{2})&\text{se k pari}\\\upsilon_2(a^k-1)=\upsilon_2(a-1)&\text{se k dispari}\end{cases} $ :?:

EDIT: Usiamo questo lemma per abbattere questo problema
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)

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