funzionale sugli interi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Jacobi
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funzionale sugli interi

Messaggio da Jacobi » 24 apr 2009, 17:51

Trovare una funzione $ f(x) $ sugi interi tale ke $ f(f(x)) = x^2 $
E posibile risolvere tale equazione funzinale sui reali(a qsta domada nn ho saputo rispndere)?
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 24 apr 2009, 18:25

nn credo proprio..... se f(x) è di grado 2 allora f(f(x)) è di grado 4 mentre se f(x) è di grado 1 allora f(f(x)) è di grado 1. In nessun caso f(f(x) può diventare di grado 2 o mi sbaglio?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 24 apr 2009, 18:43

attenzione: nn ho detto ke f(x) sia una funzione polinomiale! :wink: anzi probabilmente nel caso dei reali nn vi e neanke una "formula bella" per definire f(x), sara una qualke costruzione fatta apposta per il problema!
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 24 apr 2009, 19:16

ah allora scusa ma mi sono imbarcato in un problema fuori dalla mia portata.....in effetti la teoria rigurdante le equazioni funzionali ancora non l'ho studiata :(
Però magari ne riparliamo tra un paio di mesi quando ci sarò arrivato :)
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 24 apr 2009, 20:05

Per i reali una soluzione semplice è $ \mid x \mid ^{\sqrt2} $ ( a proposito, ne approfitto per chiedere come si fa il valore assoluto in TeX) ; quando dici "funzioni sugli interi" intendi da Z a Z?
CUCCIOLO

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 24 apr 2009, 20:16

Federiko ha scritto:quando dici "funzioni sugli interi" intendi da Z a Z?
sisi, esatto
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julio14
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Messaggio da julio14 » 24 apr 2009, 20:33

Intanto mettiamo f(0)=0, f(1)=1, e f(-x)=f(x), e ora concentriamoci sui positivi maggiori di 1.
Numero gli interi che non sono quadrati, e chiamo A l'insieme di quelli con indice dispari e B l'insieme di quelli con indice pari. Numero anche questi due insiemi, e sia quindi $ $A_n $ (o $ $B_n $) l'n-esimo elemento di A (o di B).
Ora sia $ $f(A_n)=B_n $, per il resto la funzione è ben definita da $ $f(f(x))=x^2 $ infatti possiamo associare ad ogni $ $A_i $ una i-esima "catena" di valori che si creano per ricorrenza e dimostrare facilmente che queste catene sono disgiunte e che coprono tutti gli interi. Dato infatti un intero n, sia 2^k la massima potenza di 2 tale che $ $\sqrt[2^k]n\in Z $, abbiamo che n appartiene (e appartiene solo) alla catena generata da $ $\sqrt[2^k]n $ se $ $\sqrt[2^k]n\in A $ o da $ $f^{-1}(\sqrt[2^k]n) $ se $ $\sqrt[2^k]n\in B $, quindi possiamo determinare univocamente f(n)

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