radice di radice
radice di radice
Trovare la condizione necessaria e sufficiente per $ m \in \mathbb{N} $ affinchè esista qualche $ n \in \mathbb{N} $ tale che $ \sqrt{\sqrt{n}+\sqrt{n+m}} $ sia un intero[/tex]
Consideriamo che la radice di un numero è intera sse il radicando è un quadrato perfetto e che la somma di due radici è un intero sse i due radicandi sono quadrati perfetti. Da questo deve esistere x intero t.c.:
x^2=sqrt(n)+sqrt(m+n)
Inoltre deve esistere y intero t.c. y^2=n
x^2=y+sqrt(m+y^2)
(x^2-y)^2=m+y^2
m=x^2(x^2-2y) con x^2>2y e x,y interi.
Quindi m deve essere divisibile per un quadrato perfetto x^2 con x diverso da 1 e il quoziente di questa divisione deve essere un numero k con
k<x^2
k dispari se x è dispari
k pari se x è pari.
x^2=sqrt(n)+sqrt(m+n)
Inoltre deve esistere y intero t.c. y^2=n
x^2=y+sqrt(m+y^2)
(x^2-y)^2=m+y^2
m=x^2(x^2-2y) con x^2>2y e x,y interi.
Quindi m deve essere divisibile per un quadrato perfetto x^2 con x diverso da 1 e il quoziente di questa divisione deve essere un numero k con
k<x^2
k dispari se x è dispari
k pari se x è pari.