Congettura

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Kopernik
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Congettura

Messaggio da Kopernik » 03 apr 2009, 16:53

Ciao a tutti. Sono un nuovo iscritto del forum, che apprezzo molto e consulto spesso. Ho l'onore di allenare la squadra di Matematica del Liceo Copernico di Udine.
Ho una congettura da sottoporre agli appassionati: è vero che l'equazione
n^2+1=m^3 non ha soluzioni intere eccettuato n=0 e m=1? sono riuscito a dimostrare l'assenza di soluzioni quando n è primo, ma non sono capace di dimostrare il caso generale. Qualcuno ci riesce?

pak-man
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Messaggio da pak-man » 03 apr 2009, 17:21

$ m^3-n^2=1 $
Se $ m,n>1 $ allora non ci sono soluzioni per il Teorema di Mihailescu (edit: dannazione non riesco a mettere il link a wikipedia!)
L'unica soluzione è dunque $ (m,n)=(1,0) $

Adesso ne cerco con calma una più olimpica, questa è la prima che mi è venuta in mente (ma solo perché da un paio di settimane conosco il suddetto teorema)...

piever
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Messaggio da piever » 03 apr 2009, 18:14

Più in generale è vero che $ a^2+1=b^n $ non ha soluzioni con a,b interi positivi e n>1

La dimostrazione non è molto difficile ragionando in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]

Sono convinto di aver già postato questo problema sul forum ma non riesco a trovarlo e non ricordo se qualcuno ha postato una soluzione...

Comunque qui trovi la dimostrazione del caso particolare n=3 (mi riferisco al post di jordan) ma si generalizza senza eccessiva difficoltà.

Se invece cerchi una soluzione completamente elementare, non so darti la certezza che ne esista una, ma ai ragazzi della tua squadra farà bene impararsi un po' d'algebra :D
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Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 03 apr 2009, 18:16

Vi ringrazio per la risposta così sollecita

pak-man
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Messaggio da pak-man » 03 apr 2009, 18:25

piever ha scritto:Se invece cerchi una soluzione completamente elementare, non so darti la certezza che ne esista una
Uh, allora tanto vale che mi dedichi ad altro! :lol:

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