Da lasciare ai non troppo esperti:
Sia $ $n > 5$ $ un intero.
Si dimostri che $ $n$ $ è composto se e solo se $ $(n-1)! \equiv 0 \pmod n$ $
Buon lavoro.
n|(n-1)!
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(n-1)! è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a (n-1)
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"
(n-1)! è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a (n-1)
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
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TG's problem (che avevo dimostrato per sbaglio in una discussione con jordan):
Tolti 1 e -1, ogni classe di resto si "accoppia" con il suo inverso per dare prodotto 1, mentre 1 e -1 sono gli unici inversi di sè stessi perché $ $g^{2x}\equiv1\pmod p $ ha ovviamente come uniche soluzioni $ $p-1 $ e $ $\frac{p-1}2 $. Quindi il prodotto totale è -1.
Btw per chi non lo sapesse, questo si chiama teorema di Wilson.
Tolti 1 e -1, ogni classe di resto si "accoppia" con il suo inverso per dare prodotto 1, mentre 1 e -1 sono gli unici inversi di sè stessi perché $ $g^{2x}\equiv1\pmod p $ ha ovviamente come uniche soluzioni $ $p-1 $ e $ $\frac{p-1}2 $. Quindi il prodotto totale è -1.
Btw per chi non lo sapesse, questo si chiama teorema di Wilson.